Với mọi số tự nhiên n, tổng \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho:

Câu hỏi số 219328:

Nhận biết

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219328

Phương pháp giải

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Với n = 0 ta có: \({S_0} = 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.

Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3\) cũng chia hết cho 3.

Ta có:

\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12 \cr & = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right) \cr} \)

Có: \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, \(3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\), do đó \({S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\).

Vậy \({S_n}\,\, \vdots \,\,3\) với mọi số tự nhiên n.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.