Với mọi số tự nhiên n, tổng \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho:
Câu 219328: Với mọi số tự nhiên n, tổng \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho:
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
-
Đáp án : A(5) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Với n = 0 ta có: \({S_0} = 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh \({S_n} = {n^3} + 3{n^2} + 5n + 3\) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
Giả sử mệnh đề trên đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3, ta chứng minh mệnh đề trên đúng đến n = k + 1, tức là \({S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3\) cũng chia hết cho 3.
Ta có:
\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {\left( {k + 1} \right)^3} + 3{\left( {k + 1} \right)^2} + 5\left( {k + 1} \right) + 3 = {k^3} + 6{k^2} + 14k + 12 \cr & = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3 + 3{k^2} + 9k + 9 = \left( {{k^3} + 3{k^2} + 5k + 3} \right) + 3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right) \cr} \)
Có: \({S_k} = {k^3} + 3{k^2} + 5k + 3\) chia hết cho 3 theo giả thiết quy nạp, \(3\left( {{k^2} + 3k + 3} \right)\,\, \vdots \,\,3\), do đó \({S_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,3\).
Vậy \({S_n}\,\, \vdots \,\,3\) với mọi số tự nhiên n.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com