Cho khối chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=a\) và \(\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{30}^{0}}\) . Mặt phẳng
Cho khối chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=a\) và \(\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{30}^{0}}\) . Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua A và cắt hai cạnh SB, SC tại B’, C’ sao cho chu vi tam giác AB’C’ nhỏ nhất. Tính \(k=\frac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Trải ba mặt bên của hình chóp ra cùng một mặt phẳng. Tìm chu vi của tam giác AB’C’ và tìm SB’, SC’ để chu vi của tam giác AB’C’ là nhỏ nhất.
Trải các tam giác SAB, SBC, SAC ra cùng một mặt phẳng \(\left( A'\equiv A \right)\). Ta có \(\Delta SAC=\Delta SA'C\Rightarrow AC'=A'C'\)
Do đó chu vi tam giác AB’C’ là \(AB'+B'C'+C'A=AB'+B'C'+C'A\ge AA'\)
Dấu “=” xảy ra khi \(B'\equiv E,C'\equiv F\) hay \(SB'=SE,SC'=SF.\)
Tam giác SAA’ có góc S = 900, SA = SA’ = a nên tam giác SAA’ vuông cân tại S, do đó \(\widehat{SAA'}=\widehat{SA'A}={{45}^{0}}\).
Xét tam giác SAE có \(\widehat{SEA}={{180}^{0}}-{{30}^{0}}-{{45}^{0}}={{105}^{0}}\). Áp dụng định lí sin ta có:
\(\frac{SE}{\sin \widehat{SAE}}=\frac{SA}{\sin \widehat{SEA}}\Rightarrow \frac{SE}{\sin 45}=\frac{a}{\sin 105}\Rightarrow SE=\left( -1+\sqrt{3} \right)a\)
Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được \(SF=\left( -1+\sqrt{3} \right)a\)
Vậy chu vi tam giác AB’C” nhỏ nhất khi và chỉ khi \(SB'=SC'=\left( -1+\sqrt{3} \right)a\)
Khi đó \(\frac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}={{\left( -1+\sqrt{3} \right)}^{2}}=4-2\sqrt{3}\Rightarrow k=4-2\sqrt{3}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
