Cho khối chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=a\) và \(\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{30}^{0}}\) . Mặt phẳng

Câu hỏi số 219329:

Vận dụng cao

Cho khối chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=a\) và \(\widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}={{30}^{0}}\) . Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua A và cắt hai cạnh SB, SC tại B’, C’ sao cho chu vi tam giác AB’C’ nhỏ nhất. Tính \(k=\frac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}\)

A. \(k=2-\sqrt{2}\)

B. \(k=4-2\sqrt{3}\)

C. \(k=\frac{1}{4}\)

D. \(k=2.\left( 2-\sqrt{2} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219329

Phương pháp giải

Trải ba mặt bên của hình chóp ra cùng một mặt phẳng. Tìm chu vi của tam giác AB’C’ và tìm SB’, SC’ để chu vi của tam giác AB’C’ là nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Trải các tam giác SAB, SBC, SAC ra cùng một mặt phẳng \(\left( A'\equiv A \right)\). Ta có \(\Delta SAC=\Delta SA'C\Rightarrow AC'=A'C'\)

Do đó chu vi tam giác AB’C’ là \(AB'+B'C'+C'A=AB'+B'C'+C'A\ge AA'\)

Dấu “=” xảy ra khi \(B'\equiv E,C'\equiv F\) hay \(SB'=SE,SC'=SF.\)

Tam giác SAA’ có góc S = 90⁰, SA = SA’ = a nên tam giác SAA’ vuông cân tại S, do đó \(\widehat{SAA'}=\widehat{SA'A}={{45}^{0}}\).

Xét tam giác SAE có \(\widehat{SEA}={{180}^{0}}-{{30}^{0}}-{{45}^{0}}={{105}^{0}}\). Áp dụng định lí sin ta có:

\(\frac{SE}{\sin \widehat{SAE}}=\frac{SA}{\sin \widehat{SEA}}\Rightarrow \frac{SE}{\sin 45}=\frac{a}{\sin 105}\Rightarrow SE=\left( -1+\sqrt{3} \right)a\)

Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được \(SF=\left( -1+\sqrt{3} \right)a\)

Vậy chu vi tam giác AB’C” nhỏ nhất khi và chỉ khi \(SB'=SC'=\left( -1+\sqrt{3} \right)a\)

Khi đó \(\frac{{{V}_{S.AB'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}={{\left( -1+\sqrt{3} \right)}^{2}}=4-2\sqrt{3}\Rightarrow k=4-2\sqrt{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.