Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:

Câu hỏi số 219348:

Vận dụng cao

A. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > 2\sqrt n \)

B. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > 3\sqrt n \)

C. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \)

D. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > 4\sqrt 5 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219348

Phương pháp giải

Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Giải chi tiết

Khi n = 1 ta có \({1 \over {\sqrt 1 }} = 1 < 2 \Rightarrow \) Loại đáp án A, B, D. Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \).

Ta có: \(VT = 1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)

Giả sử:

\(\eqalign{ & 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} - 2\sqrt k = {2 \over {\sqrt {k + 1} + \sqrt k }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {k + 1} > {{\sqrt {k + 1} } \over 2} + {{\sqrt k } \over 2} \Leftrightarrow {{\sqrt {k + 1} } \over 2} > {{\sqrt k } \over 2} \Leftrightarrow \sqrt {k + 1} > \sqrt k \,\,(luon\,dung) \cr} \).

Do đó \(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \Rightarrow 1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \), bất đẳng thức đúng đến n = k + 1.

Vậy \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.