Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:
Câu 219348: Bất đẳng thức nào sau đây đúng? Với mọi số nguyên dương n thì:
A. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > 2\sqrt n \)
B. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > 3\sqrt n \)
C. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \)
D. \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} > 4\sqrt 5 \)
Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
-
Đáp án : C(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Khi n = 1 ta có \({1 \over {\sqrt 1 }} = 1 < 2 \Rightarrow \) Loại đáp án A, B, D. Ta chứng minh đáp án C đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bất đẳng thức đúng với n = 1. Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} < 2\sqrt k \), ta chứng minh bất đẳng thức đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \).
Ta có: \(VT = 1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt k }} + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }}\)
Giả sử:
\(\eqalign{ & 2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} - 2\sqrt k = {2 \over {\sqrt {k + 1} + \sqrt k }} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {k + 1} > {{\sqrt {k + 1} } \over 2} + {{\sqrt k } \over 2} \Leftrightarrow {{\sqrt {k + 1} } \over 2} > {{\sqrt k } \over 2} \Leftrightarrow \sqrt {k + 1} > \sqrt k \,\,(luon\,dung) \cr} \).
Do đó \(2\sqrt k + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \Rightarrow 1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt {k + 1} }} < 2\sqrt {k + 1} \), bất đẳng thức đúng đến n = k + 1.
Vậy \(1 + {1 \over {\sqrt 2 }} + ... + {1 \over {\sqrt n }} < 2\sqrt n \) đúng với mọi số nguyên dương n.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com