Với mọi số nguyên dương n > 1. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 219346: Với mọi số nguyên dương n > 1. Bất đẳng thức nào sau đây đúng?
A. \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {20}}\)
B. \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {21}}\)
C. \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {17}}\)
D. \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}\)
Thử một giá trị bất kì của n thỏa mãn n là số nguyên dương và dự đoán kết quả.
Chứng minh kết quả vừa dự đoán là đúng bằng phương pháp quy nạp toán học.
-
Đáp án : D(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Với n = 2 ta có: \({1 \over {2 + 1}} + {1 \over {2 + 2}} = {7 \over {12}} \Rightarrow \) Loại được các đáp án A, B, C. Ta chứng minh \({1 \over {n + 1}} + {1 \over {n + 2}} + ... + {1 \over {2n}} > {{13} \over {24}}\) đúng với mọi số nguyên dương n > 1.
Bất đẳng thức đúng với n = 2. Giả sử bất đẳng thức đúng đến n = k, tức là \({1 \over {k + 1}} + {1 \over {k + 2}} + ... + {1 \over {2k}} > {{13} \over {24}}\), ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần phải chứng minh \({1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} > {{13} \over {24}}\)
Ta có:
\(\eqalign{ & {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {2\left( {k + 1} \right)}} = {1 \over {k + 2}} + {1 \over {k + 3}} + ... + {1 \over {k + 1 + k - 1}} + {1 \over {k + 1 + k}} + {1 \over {k + 1 + k + 1}} \cr & > {{13} \over {24}} - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}}. \cr} \)
Cần chứng minh \( - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > 0\)
Ta có:
\(\eqalign{ & - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} = {{ - 4{k^2} - 6k - 2 + 2{k^2} + 4k + 2 + 2{k^2} + 3k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}} \cr & = {{k + 1} \over {\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}} = {1 \over {\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}} > 0 \cr & \Rightarrow - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > 0 \cr & \Rightarrow {{13} \over {24}} - {1 \over {k + 1}} + {1 \over {2k + 1}} + {1 \over {2k + 2}} > {{13} \over {24}} \cr} \)
Bất đẳng thức đúng với n = k + 1.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
