Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox tạo thành

Câu hỏi số 220240:

Thông hiểu

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng \({\pi \over a}\left( {b{e^3} - 2} \right)\). Tìm a và b?

A. a = 27, b = 5

B. a = 26, b = 6

C. a = 24, b = 5

D. a = 27, b = 6.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:220240

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), y = g(x), x = a, x = b quanh trục Ox là: \(V = \pi \int\limits_0^e {\left| {f{{(x)}^2} - g{{(x)}^2}} \right|d{\rm{x}}} \)

Giải chi tiết

Xét phương trình: \(x\ln {\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x = 0 \hfill \cr x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Rightarrow x = 1.\)

Áp dụng công thức trên ta có: \(V = \pi \int\limits_1^e {{{\left( {x\ln {\rm{x}}} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \pi \int\limits_1^e {{x^2}{{\ln }^2}{\rm{x}}d{\rm{x}}} \)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = {\ln ^2}x \hfill \cr dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2\ln x{{dx} \over x} \hfill \cr v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow {V \over \pi } = \left. {{{{x^3}} \over 3}{{\ln }^2}x} \right|_1^e - {2 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} = {{{e^3}} \over 3} - {2 \over 3}I\)

Đặt \(\left\{ \matrix{ u = \ln x \hfill \cr dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = {{dx} \over x} \hfill \cr v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow I = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|_1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} = {{{e^3}} \over 3} - {1 \over 3}\left. {{{{x^3}} \over 3}} \right|_1^e = {{{e^3}} \over 3} - {1 \over 3}\left( {{{{e^3}} \over 3} - {1 \over 3}} \right) = {{2{e^3}} \over 9} + {1 \over 9}\)

Vậy \({V \over \pi } = {{{e^3}} \over 3} - {2 \over 3}I = {{{e^3}} \over 3} - {2 \over 3}\left( {{{2{e^3}} \over 9} + {1 \over 9}} \right) = {{5{e^3}} \over {27}} - {2 \over {27}} \Rightarrow V = {\pi \over {27}}\left( {5{e^3} - 2} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 27 \hfill \cr b = 5 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.