Cho phương trình:\(\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log
Cho phương trình:\(\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\) (với m là tham số). Gọi \(S=\left[ a;b \right]\) là tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm trên đoạn \(\left[ \frac{5}{2},4 \right]\). Tính \(a+b.\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai đối với \({{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\) và đặt ẩn phụ \(t={{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\) với \(t\in \left[ -1;1 \right]\).
- Rút \(m\) theo \(t\) và xét hàm \(f\left( t \right)\) để tìm ra điều kiện của \(m\).
\(\left( m-1 \right)\log _{\frac{1}{2}}^{2}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4\left( m-5 \right){{\log }_{\frac{1}{2}}}\frac{1}{x-2}+4m-4=0\left( x>2 \right)\)
\(\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\log _{2}^{2}\left( x-2 \right)+\left( m-5 \right){{\log }_{2}}\left( x-2 \right)+m-1=0\)
Đặt \(y={{\log }_{2}}\left( x-2 \right)\Rightarrow x\in \left[ \frac{5}{2};4 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right].\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(\left( m-1 \right){{t}^{2}}+\left( m-5 \right)t+m-1=0\)
\(\Leftrightarrow m\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)={{t}^{2}}+5t+1\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+5t+1}{{{t}^{2}}+t+1}=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}\) vì \({{t}^{2}}+t+1>0\forall t\in \left[ -1;1 \right].\)
Xét hàm số: \(y=1+\frac{4t}{{{t}^{2}}+t+1}\) trên \(\left[ -1;1 \right].\)
Có: \(y'\left( t \right)=\frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}\)
\(y'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \frac{-4{{t}^{2}}+4}{{{\left( {{t}^{2}}+t+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow t=\pm 1\in \left[ -1;1 \right].\)
Ta có bảng biến thiên:
\(\Rightarrow m\in \left[ -3;\frac{7}{3} \right]\Rightarrow a+b=-\frac{2}{3}.\)
HS thường nhầm lẫn các công thức biến đổi logarit dẫn đến kết quả sai, hoặc nhầm lẫn trong bước xét hàm \(f\left( t \right)\) để đi đến kết luận.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
