Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Câu hỏi số 221314:

Thông hiểu

A. Dãy \(\left( {{a_n}} \right)\), với \({a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin {\pi \over n},\,\,\forall n \in N*\)

B. Dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), với \({b_n} = {\left( { - 1} \right)^{2n}}\left( {{5^n} + 1} \right),\,\,\forall n \in N*\)

C. Dãy \(\left( {{c_n}} \right)\), với \({c_n} = {1 \over {n + \sqrt {n + 1} }},\,\,\forall n \in N*\)

D. Dãy \(\left( {{d_n}} \right)\), với \({d_n} = {n \over {{n^2} + 1}},\,\,\forall n \in N*\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221314

Phương pháp giải

Suy ra trực tiếp từ các đáp án bằng cách xét hiệu \({x_{n + 1}} - {x_n}\).

Giải chi tiết

Ta thấy dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) dãy đan dấu nên không tăng cũng không giảm.

Với dãy \(\left( {{b_n}} \right)\), ta có \({b_n} = {5^n} + 1,\,\,\forall n \in N*\), vì \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = 1\). Vì \({b_{n + 1}} = {5^{n + 1}} + 1 = {5.5^n} + 1 > {b_n} \Rightarrow \left( {{b_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Với dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) ta có \({c_{n + 1}} = {1 \over {n + 1 + \sqrt {n + 2} }} < {1 \over {n + \sqrt {n + 1} }} = {c_n} \Rightarrow \left( {{c_n}} \right)\) là dãy số giảm.

Với dãy số \(\left( {{d_n}} \right)\) ta có \({d_{n + 1}} = {{n + 1} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} = {{n + 1} \over {{n^2} + 2n + 2}}.\)

Xét hiệu \({d_{n + 1}} - {d_n} = {{n + 1} \over {{n^2} + 2n + 2}} - {n \over {{n^2} + 1}} = {{{n^3} + {n^2} + n + 1 - {n^3} - 2{n^2} - 2n} \over {\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = {{ - {n^2} - n + 1} \over {\left( {{n^2} + 2n + 2} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\,\,\forall n \in N*\)

Vậy \(\left( {{d_n}} \right)\) là dãy giảm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.