Cho hàm số \((C):y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1.\) Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( -3;1 \right)\) và có

Câu hỏi số 221337:

Vận dụng

Cho hàm số \((C):y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1.\) Đường thẳng đi qua điểm \(A\left( -3;1 \right)\) và có hệ số góc bằng k. Xác định k để đường thẳng đó cắt đồ thị tại 3 điểm khác nhau

A. \(0<k<1\)

B. \(k>0\)

C. \(0<k\ne 9\)

D. \(1<k<9\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221337

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và có hệ số góc \(k\) .

Biện luận số giao điểm của hai đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm để suy ra kết luận.

Giải chi tiết

Xét hàm số: \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\left( C \right)\) trên \(R\)

Ta có: \(y'=3{{x}^{2}}+6x\) ; \(y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6x=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)

Ta có (C) là hàm số bậc 3 xác định trên \(R\), đồ thị của nó có duy nhất 2 cực trị hoặc không có điểm cực trị nào.

Ta có: \(a=1>0\Rightarrow B\left( 0;1 \right)\) là điểm cực tiểu của (C).

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\left( 3;0 \right)\Rightarrow AB\parallel Ox.\)

\(\Rightarrow \) để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì điều kiện cần là k > 0 với k là hệ số góc đường thẳng cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.

Gọi \(d:y=kx+a\) với \(k>0;k,a\in R\)

Ta lại có \(A\left( -3;1 \right)\in d\Rightarrow 1=-3k+a\Leftrightarrow a=1+3k.\)

\(\Rightarrow d:y=kx+3k+1.\)

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \) phương trình: \(kx+3k+1={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( x+3 \right)\left( {{x}^{2}}-k \right)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = \pm \sqrt k \end{array} \right.\) vì k > 0.

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow k\ne 9.\)

Vậy \(k>0;k\ne 9\) thỏa mãn yêu cầu của bài.

Chú ý khi giải

HS cần chú ý cách viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có hệ số góC.

Liên hệ được mối liên hệ giữa số giao điểm và số nghiệm của phương trình để biện luận.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.