Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{\sqrt[4]{5}}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2{{\log
Tìm tổng các nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{\sqrt[4]{5}}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\)
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Biến đổi phương trình đã cho về \(2{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\) và đặt ẩn phụ \(t={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\) đưa về phương trình ẩn \(t\).
Xét hàm \(f\left( t \right)\) và tìm nghiệm của \(f\left( t \right)=0\) từ đó tìm ra nghiệm của phương trình.
Phương trình (1): \({{\log }_{\sqrt[4]{5}}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=2{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\)
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x - 3 > 0\\{x^2} - 2x - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 > 0\)
Vì \({{x}^{2}}-2x-4<{{x}^{2}}-2x-3,\forall x\in R\)
\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x-4 \right)\left( * \right)\)
Đặt \(t={{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)\)\(\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-3={{5}^{t}}\Rightarrow {{x}^{2}}-2x-4={{5}^{t}}-1>0\Leftrightarrow t>0\)
Phương trình (*) trở thành: \(2t={{\log }_{2}}\left( {{5}^{t}}-1 \right)\Leftrightarrow {{5}^{t}}-{{4}^{t}}-1=0.\)
Xét hàm số \(y\left( t \right)={{5}^{t}}-{{4}^{t}}-1\) trên \(\left( 0;+\infty \right)\).
Có \(y'\left( t \right)={{5}^{t}}\ln 5-{{4}^{t}}\ln 4\).
Vì \({{5}^{t}}>{{4}^{t}},\forall t\in \left[ 0;+\infty \right);\ln 5>\ln 4\) nên \({{5}^{t}}\ln 5-{{4}^{t}}\ln 4>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)\)
\(\Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\)
Bảng biến thiên:
Mà \(f\left( 1 \right)=0\Rightarrow t=1\) là nghiệm duy nhất phương trình \(f\left( t \right)=0.\)
Với \(t=1\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-2x-3 \right)=1\)
\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-3=5\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x-8=0\)
Theo định lý vi – et ta có tổng hai nghiệm phương trình (1) là: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2.\)
HS cần chú ý sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
