Phương trình:\(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{{{x}^{2}}-1}\) có nghiệm x khi:
Phương trình:\(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{{{x}^{2}}-1}\) có nghiệm x khi:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt{x+1}>0\) và đặt ẩn phụ \(t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\).
- Từ điều kiện \(x\ge 1\) ta tìm được điều kiện của \(t\) là \(0\le t<1\).
- Từ phương trình ẩn \(t\), rút \(-m=f\left( t \right)\) và xét hàm \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ 0;1 \right)\), từ đó suy ra điều kiện của \(m\).
Phương trình: \(3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{{{x}^{2}}-1}\)(Điều kiện: \(x\ge 1\))
\(\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}+m\sqrt{x+1}=2\sqrt[4]{x-1}.\sqrt[4]{x+1}(*)\)
Ta có với \(x\ge 1\Rightarrow \sqrt{x+1}>0.\) Chia hai vế phương trình (*) cho \(\sqrt{x+1}\) ta có: \(\frac{3\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}+m=\frac{2\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}(1)\)
Đặt \(t=\frac{\sqrt[4]{x-1}}{\sqrt[4]{x+1}}\Rightarrow {{t}^{4}}=\frac{x-1}{x+1}\).
Với \(x\ge 1\) thì hàm số \(0\le \frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}<1\Rightarrow 0\le {{t}^{4}}<1\Leftrightarrow 0\le t<1\)
Phương trình (1) trở thành: \(3{{t}^{2}}-2t+m=0(2)\)
Phương trình (*) có nghiệm \(\Leftrightarrow \) phương trình (2) có nghiệm: \(0\le t<1\)
Xét hàm \(y=f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-2t\) trên \(\left[ 0;1 \right)\) ta có:
\(f'\left( t \right)=6t-2=0\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}\in \left[ 0;1 \right)\)
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta thấy để phương trình \(3{{t}^{2}}-2t+m=0\) có nghiệm trong \(\left[ 0;1 \right)\) thì đường thẳng \(y=-m\) phải cắt đồ thị hàm số \(y=f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-2t\) tại ít nhất 1 điểm.
Do đó \(-\frac{1}{3}\le -m<1\Leftrightarrow -1<m\le \frac{1}{3}\)
Vậy \(-1<m\le \frac{1}{3}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.
- HS thường quên không tìm điều kiện của ẩn phụ \(t\) hoặc tìm sai điều kiện (một số bạn chỉ đặt điều kiện \(t\ge 0\) sẽ dẫn đến kết quả sai)
- Ở bước kết luận, một số bạn nhầm lẫn điều kiện để có nghiệm và có 2 nghiệm nên sẽ chọn \(0\le m\le \frac{1}{3}\) để phương trình có 2 nghiệm cũng là một kết quả sai.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
