Biết rằng \({{2}^{x+\frac{1}{x}}}={{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\) trong đó \(x>0.\) Tính

Câu hỏi số 221754:

Vận dụng cao

Biết rằng \({{2}^{x+\frac{1}{x}}}={{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\) trong đó \(x>0.\) Tính giá trị biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1.\)

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221754

Phương pháp giải

Đánh giá giá trị của 2 vế.

Giải chi tiết

Với \(x>0,\) áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta được: \(x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{x.\frac{1}{x}}=2\Rightarrow {{2}^{x+\frac{1}{x}}}\ge 4\).

Lại có: \(14-(y-2)\sqrt{y+1}=14-(y+1)\sqrt{y+1}+3\sqrt{y+1}\)

Đặt \(t=\sqrt{y+1}\ge 0\). Ta xét hàm số \(f(t)=-{{t}^{3}}+3t+14\) trên \(\left[ 0;+\infty \right)\) có \(\underset{t\in \left[ 0;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f(t)=f(1)=16.\)

Vậy \(14-(y-2)\sqrt{y+1}\le 16\Rightarrow {{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\le 4\)

Khi đó \({{2}^{x+\frac{1}{x}}}={{\log }_{2}}\left[ 14-(y-2)\sqrt{y+1} \right]\) , dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow P = 2\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.