Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;1),B(-1;3;-1),C(0,2,3)\) và mặt phẳng

Câu hỏi số 221924:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A(1;1;1),B(-1;3;-1),C(0,2,3)\) và mặt phẳng \((P):x+y+2z-6=0\)Tìm \(M\in (P)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\) nhỏ nhất.

A. \(M\left( -\frac{1}{18};\frac{43}{18};\frac{16}{9} \right)\)

B. \(M\left( \frac{1}{18};\frac{43}{18};\frac{16}{9} \right)\)

C. \(M\left( \frac{1}{18};\frac{4}{9};\frac{16}{9} \right)\)

D. \(M\left( \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221924

Phương pháp giải

Tính \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\)=k.MJ với J là một điểm cố định. Bài toán đưa về tìm hình chiếu của J trên (P).

Giải chi tiết

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\Rightarrow G\left( 0;2;1 \right)\).

I là một điểm nằm trên BC sao cho \(\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 + 2x = 0\\y - 3 + 2\left( {y - 2} \right) = 0\\x + 1 + 2\left( {z - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = - 1\\3y = 7\\3z = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\\z = \frac{5}{3}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{1}{3};\frac{7}{3};\frac{5}{3}} \right)\)

J là trung điểm của \(GI\Rightarrow J\left( -\frac{1}{6};\frac{13}{6};\frac{4}{3} \right)\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right)\\3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) = 3\overrightarrow {MG} + 3\overrightarrow {MI} = 3\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MI} } \right) = 3.2.\overrightarrow {MJ} = 6\overrightarrow {MJ} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = 6\left| {\overrightarrow {MJ} } \right| = 6MJ\end{array}\)

Nên \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC} \right|\) đạt GTNN khi Mlà hình chiếu của J trên \(\left( P \right)\).

Ta có: \(MJ:\left\{ \begin{array}{l}MJ = {n_P} = \left( {1;1;2} \right)\\J\left( { - \frac{1}{6};\frac{{13}}{6};\frac{4}{3}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{6} + t\\y = \frac{{13}}{6} + t\\z = \frac{4}{3} + 2t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{6} + t;\frac{{13}}{6} + t;\frac{4}{3} + 2t} \right)\)

\(M\in \left( P \right)\Leftrightarrow -\frac{1}{6}+t+\frac{13}{6}+t+2\left( \frac{4}{3}+2t \right)-6=0\Leftrightarrow -\frac{4}{3}+6t=0\Leftrightarrow t=\frac{2}{9}\Rightarrow M\left( \frac{1}{18};\frac{43}{18};\frac{16}{9} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.