Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(0;2;1)\)và \(B(2;0;4)\)và \((P):x+y+z=0\). Tìm \(M\in

Câu hỏi số 221931:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(A(0;2;1)\)và \(B(2;0;4)\)và \((P):x+y+z=0\). Tìm \(M\in (P)\)sao cho (MA+MB) min.

A. \(M\left( \frac{2}{3};-\frac{2}{3};0 \right)\)

B. \(M\left( \frac{2}{3};0;-\frac{2}{3} \right)\)

C. \(M\left( -\frac{2}{3};0;\frac{2}{3} \right)\)

D. \(M\left( -\frac{2}{3};\frac{2}{3};0 \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221931

Phương pháp giải

Xét vị trí A, B so với bờ là mặt phẳng (P) Nếu A, B khác phía với (P) thì MA+MB min khi A, B, M thẳng hàng. Nếu A, B cùng phía với (P) thì lấy đối xứng điểm A qua mặt phẳng (P) được A’. ta có MA+MB=MA’+MB. Khi đó MA+MB min khi A’, B, M thẳng hàng.

Giải chi tiết

Ta có \(({{x}_{A}}+{{y}_{A}}+{{z}_{A}})({{x}_{B}}+{{y}_{B}}+{{z}_{B}})=(0+2+1)(2+0+4)>0\)

Suy ra A, B cùng phía với (P)

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P)

\({\rm{AA':}}\left\{ \begin{array}{l}{\rm{AA}}' \bot (P) \Rightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {{n_P}} = (1;1;1)\\A(0;2;1)\end{array} \right. \Rightarrow {\rm{AA}}':\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) ta có .

Suy ra tọa độ của H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 + t\\z = 1 + t\\3t + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\\z = 0\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow H( - 1;1;0)\)

Vì H là trung điểm AA’ nên ta có \(A'(-2;0;-1)\)

Ta có: \(AM+MB=A'M+MB\ge A'B\Rightarrow {{\min }_{(AM+MB)}}=A'B\)\(\Rightarrow \) A’,B,M thẳng hàng\(\Rightarrow M=A'B\cap (P)\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {A'B} (4;0;5)\\B(2;0;4)\end{array} \right. \Rightarrow A'B:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 0\\z = 4 + 5t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 0\\z = 4 + 5t\\x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 0\\z = 4 + 5t\\9t + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{2}{3}\\y = 0\\z = \frac{2}{3}\\t = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{2}{3};0;\frac{2}{3}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.