Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:x=y+1=z-1\) và \(A(2;1;0),B(-4;-5;3)\). Tìm \(M\in (d)\)sao
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(d:x=y+1=z-1\) và \(A(2;1;0),B(-4;-5;3)\). Tìm \(M\in (d)\)sao cho (MA+MB) nhỏ nhất.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Lấy \(M\in d\) Tính biểu thức MA+MB Biến về bài toán Min, Max
Phương trình tham số của \(d:x=y+1=z-1\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\)
Lấy \(M\in d\Rightarrow M\left( t;-1+t;1+t \right)\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {t - 2; - 2 + t;t + 1} \right) \Rightarrow MA = \sqrt {2{{\left( {t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 1} \right)}^2}} = \sqrt {3{t^2} - 6t + 9} = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - 2t + 3} \\\overrightarrow {BM} = \left( {t + 4;t + 4;t - 2} \right) \Rightarrow MB = \sqrt {2{{\left( {t + 4} \right)}^2} + {{(t - 2)}^2}} = \sqrt {3{t^2} + 12t + 36} = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} + 4t + 12} \\ \Rightarrow \left| {MA + MB} \right| = \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} - 2t + 3} + \sqrt 3 .\sqrt {{t^2} + 4t + 12} = \sqrt 3 .\left( {\sqrt {{t^2} - 2t + 3} + \sqrt {{t^2} + 4t + 12} } \right)\end{array}\)
Xét hàm \(f\left( t \right)=\sqrt{{{t}^{2}}-2t+3}+\sqrt{{{t}^{2}}+4t+12},t\in R\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \frac{{t - 1}}{{\sqrt {{t^2} - 2t + 3} }} + \frac{{t + 2}}{{\sqrt {{t^2} + 4t + 12} }}\\f''\left( t \right) = \frac{2}{{\sqrt {{t^2} - 2t + 3} \left( {{t^2} - 2t + 3} \right)}} + \frac{8}{{\left( {{t^2} + 4t + 12} \right)\sqrt {{t^2} + 4t + 12} }} > 0,\forall x\end{array}\)
Do đó \(f'\left( t \right)\) đồng biến trên \(R\).
Mà \(t=0\) là một nghiệm của \(f'\left( t \right)=0\) nên phương trình \(f'\left( t \right)=0\) có nghiệm duy nhất \(t=0\)
Bảng biến thiên:
\(\Rightarrow \left| MA+MB \right|\ge \sqrt{3}\left( \sqrt{3}+\sqrt{12} \right)=9\).
Dấu “=” xảy ra khi \(t=0\Rightarrow M\left( 0;-1;1 \right)\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
