Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương

Câu hỏi số 221953:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+2z-3=0\) và mặt phẳng (P) có phương trình \(2x-y+2z-14=0\). Tìm điểm \(M\in (S)\) để \(d(M;P)\) đạt GTLN.

A. \(M\left( -2;1;-2 \right)\)

B. \(M(-1;-1;-3)\)

C. \(M\left( 2;1;-2 \right)\)

D. \(M(1;1;3)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:221953

Phương pháp giải

Đổi hệ trục tọa độ và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopki.

Giải chi tiết

(S) có tâm \(I\left( 1;-2;-1 \right)\) và bán kính \(R=3\)

Đổi hệ trục tọa độ với \(\left\{ \begin{array}{l}X = x - 1\\Y = y + 2\\Z = z + 1\end{array} \right.\)

Khi đó, ta có phương trình mặt phẳng (P) là \(2X-Y+2Z-12=0\)

Phương trình mặt cầu (S) trở thành \({{X}^{2}}+{{Y}^{2}}+{{Z}^{2}}=9\)

Lấy \(M(a;b;c)\in (S)\). Khi đó ta có: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=9\)

Ta có: \(d(M,P)=\frac{\left| 2a-b+2c-12 \right|}{3}\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopki ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {2a - b + 2c} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {1^2} + {2^2}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = 9.9 = 81\\ \Rightarrow - 9 \le 2a - b + 2c \le 9\\ \Rightarrow - 9 - 12 \le 2a - b + 2c - 12 \le 9 - 12\\ \Rightarrow - 21 \le 2a - b + 2c - 12 \le - 3\\ \Rightarrow \left| {2a - b + 2c - 12} \right| \le 21\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{2} = \frac{b}{{ - 1}} = \frac{c}{2}\\2a - b + 2c = - 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\\c = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 2;1; - 2} \right)\)

Tọa độ điểm M trong hệ trục tọa độ Oxyz là \(\left\{ \begin{array}{l}x = a + 1\\y = b - 2\\z = c - 1\end{array} \right. \Rightarrow M( - 1; - 1; - 3)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.