Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=-\,x\) và \(x=4.\)

Câu hỏi số 222108:

Thông hiểu

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}\), \(y=-\,x\) và \(x=4.\) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là \(V=\frac{a\pi }{b},\) với \(a,\,\,b>0\) và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính tổng \(T=a+b.\)

A. \(T=44.\)

B. \(T=36.\)

C. \(T=50.\)

D. \(T=24.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222108

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Đưa tích phân cần tính về dạng \(V=\frac{a\pi }{b},\) và tìm ra các hệ số a và b, thay vào tính tổng a + b.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y=\sqrt{x},\,\,y=-\,x\) là \(\sqrt{x}=-\,x\Leftrightarrow x=0.\)

Khi đó, thể tích cần tính là \(V=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left| {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2}}-{{\left( -\,x \right)}^{2}} \right|\text{d}x}=\pi \int\limits_{0}^{4}{\left| x-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}\)

\(=\pi \int\limits_{1}^{4}{\left| x-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}+\pi \int\limits_{0}^{1}{\left| x-{{x}^{2}} \right|\text{d}x}=\pi \int\limits_{1}^{4}{\left( {{x}^{2}}-x \right)\text{d}x}+\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( x-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}\)

\( = \pi \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^4\\_1\end{array} \right. + \pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. = \frac{{41\pi }}{3} = \frac{{a\pi }}{b}\,\, \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}a = 41\\b = 3\end{array} \right..\)

Vậy \(T=44.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.