Biết \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 2} \,{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2,\)

Câu hỏi số 222277:

Nhận biết

Biết \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\sqrt {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} - 2} \,{\rm{d}}x} = a + b.\ln 2,\) với Tính \(S = 2a + {b^2}.\)

A. \(S = - \,1.\)

B. \(S = {9\over 4}.\)

C. \(S = 0.\)

D. \(S = 3.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222277

Phương pháp giải

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 2} dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\sqrt {{x^2} - 2x\frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\sqrt {{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}} dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {x - \frac{1}{x}} \right|dx} \\= \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{\left| {{x^2} - 1} \right|}}{x}dx} = - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{x}dx} + \int\limits_1^2 {\frac{{{x^2} - 1}}{x}dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right|} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2\\= - \frac{1}{2} + \ln 1 + \frac{1}{8} - \ln \frac{1}{2} + 2 - \ln 2 - \frac{1}{2} + \ln 1 = \frac{9}{8} = a + b\ln 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{8}\\b = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.