Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \sin 2x} \,{\rm{d}}x} = a\sqrt 2 + b,\) với Tính \(P =

Câu hỏi số 222281:

Thông hiểu

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \sin 2x} \,{\rm{d}}x} = a\sqrt 2 + b,\) với Tính \(P = {a^2} - 2b.\)

A. \(P = - \,1.\)

B. \(P = 1.\)

C. \(P = 4.\)

D. \(P = 3.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222281

Phương pháp giải

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Giải chi tiết

Lời giải:

Biến đổi \(I\) về dạng

\(I = \int\limits_0^\pi {\sqrt {1 - \sin 2x} \,{\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\sqrt {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}} \,{\rm{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\left| {\sin x - \cos x} \right|\,{\rm{d}}x} = \sqrt 2 \int\limits_0^\pi {\left| {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .\)

Vì \(0 \le x \le \pi \Leftrightarrow - \dfrac{\pi }{4} \le x - \dfrac{\pi }{4} \le \dfrac{{3\pi }}{4},\) do đó ta cần chia thành hai khoảng

Với \( - \dfrac{\pi }{4} \le x - \dfrac{\pi }{4} \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \dfrac{\pi }{4},\) khi đó \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 0.\)

Với \(0 \le x - \dfrac{\pi }{4} \le \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} \le x \le \pi ,\) khi đó \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 0.\)

Từ đó, ta được \(I = \sqrt 2 \left[ { - \,\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^\pi {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right){\rm{d}}x} } \right] = \sqrt 2 \left[ {\left. {\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \left. {\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^\pi } \right] = 2\sqrt 2 .\)

Vậy \(I = a\sqrt 2 + b = 2\sqrt 2 \Rightarrow a = 2;\,\,b = 0 \Rightarrow P = {a^2}- 2b = 4.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.