Biết \(I = \int\limits_{ - \,3}^1 {\left| {\left| x \right| - {x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2}} \right|\,{\rm{d}}x} = \dfrac{a}{b},\) với \(a,\,\,b > 0\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(a - b.\)

Câu 222292: Biết \(I = \int\limits_{ - \,3}^1 {\left| {\left| x \right| - {x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2}} \right|\,{\rm{d}}x} = \dfrac{a}{b},\) với \(a,\,\,b > 0\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức \(a - b.\)

A. \(a - b = 20.\)

B. \(a - b= 3.\)

C. \(a - b = 15.\)

D. \(a - b = 8.\)

Câu hỏi : 222292

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Đáp án : A
(21) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(I = \int\limits_{ - \,3}^1 {\left| {\left| x \right| - {x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2}} \right|\,{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \,3}^0 {\left| { - \,x - {x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2}} \right|\,{\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {\left| {x - {x^2} - \dfrac{3}{2}x + \dfrac{3}{2}} \right|\,{\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_{ - \,3}^0 {\left| { - {x^2} - \dfrac{{5x}}{2} + \dfrac{3}{2}} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {\left| { - {x^2} - \dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}} \right|{\rm{d}}x} \)

Xét \( - {x^2} - \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_{ - \,3}^0 {\left| { - {x^2} - \frac{{5x}}{2} + \frac{3}{2}} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - \,3}^0 {\left( { - {x^2} - \frac{{5x}}{2} + \frac{3}{2}} \right){\rm{d}}x} \)

Xét \( - {x^2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2}\\x = 1\end{array} \right. \Rightarrow \int\limits_0^1 {\left| { - {x^2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}} \right|{\rm{d}}x = } \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}} \right){\rm{d}}x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_{ - \,3}^0 {\left( { - {x^2} - \frac{{5x}}{2} + \frac{3}{2}} \right){\rm{d}}x} + \int\limits_0^1 {\left( { - {x^2} - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}} \right){\rm{d}}x} \\ = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{5{x^2}}}{4} + \frac{{3x}}{2}} \right)} \right|_{ - \,3}^0 + \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{3x}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{{27}}{4} + \frac{{11}}{{12}} = \frac{{23}}{3} = \frac{a}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 23\\b = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = a - b = 20.\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.