Cho dãy số (un) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + \sqrt 2 - 1}}{{1 -

Câu hỏi số 222401:

Vận dụng cao

Cho dãy số (u_n) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \frac{{{u_n} + \sqrt 2 - 1}}{{1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right){u_n}}}\end{array} \right.,\forall n \in {N^*}\). Tính \({u_{2018}}\)

A. \({u_{2018}} = 7 + 5\sqrt 2 \)

B. \({u_{2018}} = {\rm{ }}2{\rm{ }}\)

C. \({u_{2018}} = 7 - 5\sqrt 2 \)

D. \({u_{2018}} = 7 + \sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:222401

Phương pháp giải

Với dãy số có dạng: \({u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + m}}{{1 - m{u_n}}}\) ta đặt \({u_1} = \tan a;m = \tan b\) từ đó suy ra

\({u_2} = \dfrac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \tan \left( {a + b} \right)\) và công thức tổng quát \({u_n} = \tan \left[ {a + \left( {n - 1} \right)b} \right]\)

Giải chi tiết

Đặt \({u_1} = 2 = \tan a;\sqrt 2 - 1 = \tan b{\rm{ }}\left( {a,b \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)} \right)\). Tìm b:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{{\cos }^2}b}} = 1 + {\tan ^2}b = 1 + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 \Rightarrow {\cos ^2}b = \frac{1}{{4 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{4 + 2\sqrt 2 }}{8} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{4}\\ \Rightarrow \cos 2b = 2{\cos ^2}b - 1 = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow 2b = \frac{\pi }{4} \Rightarrow b = \frac{\pi }{8}\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_2} = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \tan \left( {a + b} \right)\\{u_3} = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan b}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right)\tan b}} = \tan \left( {a + 2b} \right)\\...\\{u_n} = \tan \left[ {a + \left( {n - 1} \right)b} \right]\end{array}\)

Suy ra

\(\begin{array}{l}{u_{2018}} = \tan \left[ {a + 2017.\frac{\pi }{8}} \right] = \tan \left[ {a + \frac{\pi }{8} + 252\pi } \right] = \tan \left( {a + \frac{\pi }{8}} \right)\\ = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a\tan b}} = \frac{{2 + \sqrt 2 - 1}}{{1 - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right) = 7 + 5\sqrt 2 \end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.