Tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình \(\left( {3m + 1} \right){18^x} + \left( {2 - m}
Tất cả các giá trị thực của m để bất phương trình \(\left( {3m + 1} \right){18^x} + \left( {2 - m} \right){6^x} + {2^x} < 0\) có nghiệm đúng \(\forall x > 0\) là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Chia cả hai vế của bpt cho \({2^x} > 0\) và đặt \({3^x} = t > 0\) đưa về bất phương trình bậc hai đối với ẩn \(t\).
- Biến đổi bất phương trình tương đương với \(m < f\left( t \right)\), xét hàm \(f\left( t \right)\) tìm GTLN, GTNN và rút ra kết luận.
- Bất phương trình \(m < f\left( t \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x \in D\) khi và chỉ khi \(m \le \mathop {\min }\limits_D f\left( x \right)\).
BPT \(\left( {3m + 1} \right){9^x} + \left( {2 - m} \right){3^x} + 1 < 0\)\(\left( 1 \right)\). Đặt \(t = {3^x}\) ( ĐK : \(t > 0\))
BPT trở thành : \(\left( {3m + 1} \right){t^2} + \left( {2 - m} \right)t + 1 < 0 \Leftrightarrow \left( {3{t^2} - t} \right)m < - {t^2} - 2t - 1\)\(\left( 2 \right)\)
Để BPT \(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng \(\forall x > 0 \Leftrightarrow \)BPT \(\left( 2 \right)\)nghiệm đúng \(\forall t > 1\)
( vì \(t > 1\) nên \(3{t^2} - t = t\left( {3t - 1} \right) > 0\))
\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - {t^2} - 2t - 1}}{{3{t^2} - t}} > m\) \(\left( 3 \right)\) nghiệm đúng \(\forall t > 1\)
Xét \(f\left( t \right) = \dfrac{{ - {t^2} - 2t - 1}}{{3{t^2} - t}}\) khi \(t > 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } f\left( t \right) = - \dfrac{1}{3};f'\left( t \right) = \dfrac{{\left( { - 2t - 2} \right)\left( {3{t^2} - t} \right) - \left( { - {t^2} - 2t - 1} \right)\left( {6t - 1} \right)}}{{{{\left( {3{t^2} - t} \right)}^2}}} = \dfrac{{7{t^2} + 6t - 1}}{{{{\left( {3{t^2} - t} \right)}^2}}}\)
Ta thấy \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \frac{1}{7}\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( t \right) > 0\,\,\forall t > 1\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy : BPT \(\left( 3 \right)\) nghiệm đúng \(\forall t > 1 \Leftrightarrow f\left( t \right) > m\,,\forall t > 1 \Leftrightarrow m \le - 2\)
Nhiều bạn sẽ phân vân giá trị \(m = - 2\). Với \(m = - 2\) thì \(f\left( x \right) > m = - 2\) luôn đúng với mọi \(t > 1\) nên giá trị \(m = - 2\) cũng thỏa mãn.
- Một số khác sẽ nhầm lẫn giữa điều kiện để bpt nghiệm đúng với mọi \(x \in D\) với điều kiện để bpt có nghiệm trên \(D\) và chọn nhầm đáp án C.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
