Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành

Câu hỏi số 223133:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng : \({x^3} - 3m{x^2} + 2m\left( {m - 4} \right)x + 9{m^2} - m = 0\)

A. m = 0

B. \(m = \frac{{17 + \sqrt {265} }}{{12}}\)

C. \(m = \frac{{17 - \sqrt {265} }}{{12}}\)

D. m = 1

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223133

Phương pháp giải

Giá sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt, sử dụng định lí Vi-et và tính chất của cấp số cộng để tìm ra một trong ba nghiệm đó.

Thử lại và kết luận.

Giải chi tiết

Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận:

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} = - \frac{b}{a} = 3m\)

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng nên \({x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\)

Thay x₂= m vào phương trình ban đầu ta được \({m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}\left( {m - 4} \right) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)

Thử lại:

Khi m = 0, phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m = 1, phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy -2, 1, 4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d = 3.

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.

Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì m nguyên.

Khi m = 0 ta có phương trình \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m = 1 phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy -2, 1, 4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d = 3. Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.