Hàm số \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2m-1\) chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi

Câu hỏi số 228083:

Vận dụng

Hàm số \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2m-1\) chỉ có cực đại mà không có cực tiểu khi m:

A. \(m\le -3\).

B. \(m>3\).

C. \(-3<m<1\).

D. \(m\le -3\vee m>0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228083

Phương pháp giải

Xét hàm số \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\).

+) Với \(a=0,b\ne 0\) ta có \(y=b{{x}^{2}}+c\) là phương trình bậc hai có đồ thị là một parabol. Hàm số này chỉ có một cực trị \(x=0\)( là cực đại nếu \(b<0\), là cực tiểu nếu \(b>0\)) .

+) Với \(a\ne 0\) thì \(y=a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c\) là hàm trùng phương (bậc 4). Hàm này hoặc có ba cực trị hoặc có một cực trị. Trong trường hợp có ba cực trị thì luôn luôn có cực tiểu nên để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì hàm số chỉ có một cực trị là cực đại.

Nghĩa là phương trình \({y}'=0\) có nghiệm \({{x}_{0}}\) duy nhất và \({{x}_{0}}\) là điểm cực đại.

Giải chi tiết

+) Với \(m=0\) thì ta có hàm số \(y=3{{x}^{2}}-1\) có \(3>0\) nên đồ thị hàm số là một parabol có bề lõm hướng lên trên\(\Rightarrow \) hàm số có cực tiểu \(x=0\).

+) Với \(m\ne 0\) ta có hàm trùng phương \(y=m{{x}^{4}}+\left( m+3 \right){{x}^{2}}+2m-1\)

\(\Rightarrow {y}'=4m{{x}^{3}}+2\left( m+3 \right)x=x\left( 4m{{x}^{2}}+2m+6 \right)\), \({{y}'}'=12m{{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)\).

Xét phương trình\({y}'=0\) \(\Leftrightarrow x\left( 4m{{x}^{2}}+2m+6 \right)=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = \frac{{ - m - 3}}{2m}\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

Để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu thì phương trình \({y}'=0\) có nghiệm \(x=0\) duy nhất .

Hay phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x=0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ - m - 3}}{2m} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{m + 3}}{2m} \ge 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m \le - 3\\m > 0\end{array} \right.\).

Với \(m>0\) thì \(4m{{x}^{2}}+2m+6>0\,\forall x\) nên \({y}'>0\Leftrightarrow x>0,{y}'<0\Leftrightarrow x<0\) do đó \(x=0\) là điểm cực tiểu của hàm số (loại).

Với \(m\le -3\) thì \(4m{{x}^{2}}+2m+6\le 0\,\forall x\) nên \({y}'>0\Leftrightarrow x<0,{y}'<0\Leftrightarrow x>0\) do đó \(x=0\) là điểm cực tiểu (nhận).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.