Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - {3^y} = \left( {y - x} \right)\left( {xy + 8}

Câu hỏi số 228230:

Vận dụng

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{3^x} - {3^y} = \left( {y - x} \right)\left( {xy + 8} \right)\\
{x^2} + {y^2} = 8
\end{array} \right.\) . Số nghiệm của hệ phương trình là :

A. 1

B. 2

C. Vô nghiệm

D. Vô số nghiệm

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228230

Phương pháp giải

+) Thế (2) vào (1), giải phương trình bằng phương pháp hàm số, suy ra mối quan hệ giữa x và y.

+) Thế ngược lại phương trình (2), giải ra x và y.

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}
{3^x} - {3^y} = \left( {y - x} \right)\left( {xy + 8} \right)\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{x^2} + {y^2} = 8\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.\)

Thay (2) vào (1) ta có \({3^x} - {3^y} = \left( {y - x} \right)\left( {xy + {x^2} + {y^2}} \right) = {y^3} - {x^3} \Leftrightarrow {3^x} + {x^3} = {3^y} + {y^3}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} + {t^3}\) ta có \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 + 3{t^2} > 0\,\,\forall t \Rightarrow \in R\). Hàm số \(y = f\left( t \right)\) đồng biến trên R.

Mà \(f\left( x \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = y\)

Thay vào (2) ta có \(2{x^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2 = y\)

Vậy hpt có 2 nghiệm \(\left( {2;2} \right);\left( { - 2; - 2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.