Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{3x + 7}}\left( {9 + 12x + 4{x^2}} \right) + {\log _{2x + 3}}\left(

Câu hỏi số 230891:

Vận dụng

Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{3x + 7}}\left( {9 + 12x + 4{x^2}} \right) + {\log _{2x + 3}}\left( {6{x^2} + 23x + 21} \right) > 4\)

A. \(\left( { - {3 \over 2}; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - {1 \over 4}; + \infty } \right)\)

C. \(\left( { - 1; - {1 \over 4}} \right)\)

D. \(\left( { - 1;0} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230891

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện xác định của bất phương trình.

+) Sử dụng các công thức \({\log _a}\left( {xy} \right) = {\log _a}x + {\log _a}y,\,\,\,{\log _a}b = {1 \over {{{\log }_b}a}}\) (giả sử các biểu thức có nghĩa).

+) Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

ĐK: \(\left\{ \matrix{ 3x + 7 > 0 \hfill \cr 3x + 7 \ne 1 \hfill \cr 2x + 3 > 0 \hfill \cr 2x + 3 \ne 1 \hfill \cr 9 + 12x + 4{x^2} > 0 \hfill \cr 6{x^2} + 23x + 21 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 7 > 0 \hfill \cr 3x + 7 \ne 1 \hfill \cr 2x + 3 > 0 \hfill \cr 2x + 3 \ne 1 \hfill \cr {\left( {2x + 3} \right)^2} > 0 \hfill \cr \left( {2x + 3} \right)\left( {3x + 7} \right) > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3x + 7 > 0 \hfill \cr 3x + 7 \ne 1 \hfill \cr 2x + 3 > 0 \hfill \cr 2x + 3 \ne 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > - {7 \over 3} \hfill \cr x \ne - 2 \hfill \cr x > - {3 \over 2} \hfill \cr x \ne - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > - {3 \over 2} \hfill \cr x \ne - 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & {\log _{3x + 7}}\left( {9 + 12x + 4{x^2}} \right) + {\log _{2x + 3}}\left( {6{x^2} + 23x + 21} \right) > 4 \cr & \Leftrightarrow {\log _{3x + 7}}{\left( {2x + 3} \right)^2} + {\log _{2x + 3}}\left[ {\left( {2x + 3} \right)\left( {3x + 7} \right)} \right] > 4 \cr & \Leftrightarrow 2{\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) + {\log _{2x + 3}}\left( {3x + 7} \right) + 1 - 4 > 0 \cr & \Leftrightarrow 2{\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) + {1 \over {{{\log }_{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right)}} - 3 > 0 \cr} \)

Đặt \({\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) = a\), khi đó bất phương trình trở thành

\(2a + {1 \over a} - 3 > 0 \Leftrightarrow {{2{a^2} - 3a + 1} \over a} > 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a > 1 \hfill \cr
0 < a < {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Ta có \(x > - {3 \over 2} \Rightarrow 3x + 7 > {5 \over 2} > 1\)

Khi \(a > 1 \Leftrightarrow {\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) > 1 \Leftrightarrow 2x + 3 > 3x + 7 \Leftrightarrow x < - 4\) (không thỏa mãn điều kiện)

Khi \(0 < a < {1 \over 2} \Leftrightarrow 0 < {\log _{3x + 7}}\left( {2x + 3} \right) < {1 \over 2} \Leftrightarrow 1 < 2x + 3 < \sqrt {3x + 7} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x + 3 > 1 \hfill \cr
4{x^2} + 12x + 9 < 3x + 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > - 1 \hfill \cr
4{x^2} + 9x + 2 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > - 1 \hfill \cr
- 2 < x < {{ - 1} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < - {1 \over 4}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(x \in \left( { - 1; - {1 \over 4}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.