Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu hỏi số 231690:

Vận dụng

Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231690

Phương pháp giải

Với \(a,b\)là hai số dương ta có bất đẳng thức: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) hay \(\frac{1}{a+b}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\)(*)

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: \(\frac{1}{2a+b+c}=\frac{1}{2a+\left( b+c \right)}\le \text{ }\frac{1}{4}\left( \frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c} \right)=\frac{1}{8a}+\frac{1}{4}.\frac{1}{b+c}\)

Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức (*) ta có: \(\frac{1}{b+c}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\)

Từ đó, suy ra \(\frac{1}{2a+b+c}\le \frac{1}{8a}+\frac{1}{16}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{a+2b+c}\le \frac{1}{8b}+\frac{1}{16}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{c} \right);\,\,\frac{1}{a+b+2c}\le \frac{1}{8c}+\frac{1}{16}\left( \frac{1}{b}+\frac{1}{a} \right)\)

Cộng vế với vế ta có \(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\le \frac{1}{4}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\)

Theo giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=4\) nên ta có \(P\le 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.