Với \(a,b,c\) là các số dương. Biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\). Mệnh đề nào

Câu hỏi số 231701:

Vận dụng

Với \(a,b,c\) là các số dương. Biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\). Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. \(0<P<\frac{3}{2}\)

B. \(P>\frac{3}{2}\)

C. \(P\ge \frac{4}{3}\)

D. \(P\ge \frac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231701

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x,y,z>0\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{c + a}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} + 1\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x,y,z>0\), ta có: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{9}{2\left( a+b+c \right)}\)

Suy ra \(P+3\ge \left( a+b+c \right).\frac{9}{2\left( a+b+c \right)}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\ge \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.