Với \(a,b,c\) là các số dương. Biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\). Mệnh đề nào

Câu hỏi số 231701:

Vận dụng

Với \(a,b,c\) là các số dương. Biểu thức \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\). Mệnh đề nào sau đây đúng.

A. \(0<P<\frac{3}{2}\)

B. \(P>\frac{3}{2}\)

C. \(P\ge \frac{4}{3}\)

D. \(P\ge \frac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231701

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp sử dụng bất đẳng thức: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x,y,z>0\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{a}{{b + c}} + 1 + \frac{b}{{c + a}} + 1 + \frac{c}{{a + b}} + 1\\ \Leftrightarrow P + 3 = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{c + a}} + \frac{{a + b + c}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 3 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{a + b}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\) với \(x,y,z>0\), ta có: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{9}{2\left( a+b+c \right)}\)

Suy ra \(P+3\ge \left( a+b+c \right).\frac{9}{2\left( a+b+c \right)}=\frac{9}{2}\Rightarrow P\ge \frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.