Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m. Người ta muốn chế tạo

Câu hỏi số 233098:

Vận dụng

Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét?

A. \(\frac{5\sqrt{13}}{3}m\)

B. \(4\sqrt{2}m\)

\(6m\)

D. \(3\sqrt{5}m\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

+) Gọi khoảng cách từ điểm đặt thang ở dưới mặt đất đến chân tường là x.

+) Biểu diễn chiều dài cái thang theo biến x.

+) Khảo sát hàm số vừa tìm được, tìm x để hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó ta được chiều dài nhỏ nhất của cái thang.

Giải chi tiết

Gọi khoảng cách từ điểm đặt thang đến chân tường là \(x\ \left( x>0 \right)\) như trong hình vẽ.

Chiều dài cái thang là AD.

Gọi góc tạo bởi cái thang và mặt đất là \(\alpha .\)

Khi đó ta có: \(\tan \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{DE}{AE}\Rightarrow \frac{2}{x}=\frac{DE}{x+2}\) \(\Rightarrow DE=\frac{2\left( x+2 \right)}{x}.\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ADE vuông tại E ta được:

\(\begin{align} & A{{D}^{2}}=A{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\left( x+2 \right)}{x} \right)}^{2}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{{x}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+16x+16}{{{x}^{2}}}. \\ \end{align}\)

Đặt \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+16x+16}{{{x}^{2}}}.\)

Chiều cái thang ngắn nhất \(\Rightarrow A{{D}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Rightarrow \) hàm số \(y=f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}-32x}{{{x}^{4}}}=\frac{2{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-16x-32}{{{x}^{3}}}.\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} + 4{x^3} - 16x - 32 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2{x^3} + 8{x^2} + 16x + 16} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\;\;\left( {tm} \right)\\
x = - 2\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy với \(x=2\) thì chiều dài cái thang ngắn nhất: \(A{{D}^{2}}=f\left( x \right)=32\Rightarrow AD=\sqrt{32}=4\sqrt{2}m.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:233098

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.