Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m. Người ta muốn chế tạo
Một bức tường cao 2m nằm song song với tòa nhà và cách tòa nhà 2m. Người ta muốn chế tạo một chiếc thang bắc từ mặt đất bên ngoài bức tường, gác qua bức tường và chạm vào tòa nhà (xem hình vẽ). Hỏi chiều dài tối thiểu của thang bằng bao nhiêu mét?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Gọi khoảng cách từ điểm đặt thang ở dưới mặt đất đến chân tường là x.
+) Biểu diễn chiều dài cái thang theo biến x.
+) Khảo sát hàm số vừa tìm được, tìm x để hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó ta được chiều dài nhỏ nhất của cái thang.
Gọi khoảng cách từ điểm đặt thang đến chân tường là \(x\ \left( x>0 \right)\) như trong hình vẽ.
Chiều dài cái thang là AD.
Gọi góc tạo bởi cái thang và mặt đất là \(\alpha .\)
Khi đó ta có: \(\tan \alpha =\frac{BC}{AC}=\frac{DE}{AE}\Rightarrow \frac{2}{x}=\frac{DE}{x+2}\) \(\Rightarrow DE=\frac{2\left( x+2 \right)}{x}.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ADE vuông tại E ta được:
\(\begin{align} & A{{D}^{2}}=A{{E}^{2}}+D{{E}^{2}}={{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{2\left( x+2 \right)}{x} \right)}^{2}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{{x}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}+4{{\left( x+2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}} \\ & \ \ \ \ \ \ \ =\frac{{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+16x+16}{{{x}^{2}}}. \\ \end{align}\)
Đặt \(f\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+8{{x}^{2}}+16x+16}{{{x}^{2}}}.\)
Chiều cái thang ngắn nhất \(\Rightarrow A{{D}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Rightarrow \) hàm số \(y=f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{2{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}-16{{x}^{2}}-32x}{{{x}^{4}}}=\frac{2{{x}^{4}}+4{{x}^{3}}-16x-32}{{{x}^{3}}}.\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} + 4{x^3} - 16x - 32 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {2{x^3} + 8{x^2} + 16x + 16} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\;\;\left( {tm} \right)\\
x = - 2\;\;\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy với \(x=2\) thì chiều dài cái thang ngắn nhất: \(A{{D}^{2}}=f\left( x \right)=32\Rightarrow AD=\sqrt{32}=4\sqrt{2}m.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
