Cho tứ diện \(ABCD\) có\(AB=4a\), \(CD=6a\), các cạnh còn lại có độ dài bằng\(a\sqrt{22}\). Tính
Cho tứ diện \(ABCD\) có\(AB=4a\), \(CD=6a\), các cạnh còn lại có độ dài bằng\(a\sqrt{22}\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện\(ABCD\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
+) Xác định chiều cao hạ từ đỉnh \(A\) của tứ diện, từ các giả thiết suy ra tâm mặt cầu nằm trên đoạn \(MN\).
+) Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đáy \(BCD\).
+) Từ tâm kẻ đường thẳng song song với đường cao hạ từ \(A\), đường thẳng này cắt \(MN\) tại \(O\) là tâm mặt cầu cần tìm.
+) Dựa vào định lý Pytago để tính bán kính.
Gọi \(M,\)\(N,\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,\)\(CD\). Ta có \(\Delta ACD=\Delta BCD\)(c-c-c) nên \(AN=BN\)do đó tam giác \(NAB\) cân tại \(N\)\(\Rightarrow MN\bot AB\)
Tương tự ta có \(MN\bot CD\)
Ta có \(\left( ABN \right)\bot CD\)\(\Rightarrow \left( ABN \right)\bot \left( BCD \right)\)
mà \(\left( ABN \right)\cap \left( BCD \right)=BN\). Trong \(\left( ABN \right)\)kẻ \(AH\bot BN\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\)
Gọi \(I\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Dựng trục It, gọi \(O=It\cap MN\) khi đó \(O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Ta có \(M{{N}^{2}}=A{{N}^{2}}-A{{M}^{2}}\)\(=A{{D}^{2}}-N{{D}^{2}}-A{{M}^{2}}=9{{a}^{2}}\)\(\Rightarrow MN=3a.\)
Ta có \(O{{A}^{2}}=O{{D}^{2}}\Leftrightarrow O{{M}^{2}}+M{{A}^{2}}=O{{N}^{2}}+N{{D}^{2}}={{R}^{2}}\)
\(\Rightarrow O{{M}^{2}}-O{{N}^{2}}=N{{D}^{2}}-M{{A}^{2}}=9{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}=5{{a}^{2}}\)
\(\Rightarrow \left( OM-ON \right)\left( OM+ON \right)=5{{a}^{2}}\)
Mà \(OM+ON=MN=3a\)\(\Rightarrow OM-ON=\frac{5}{3}a\)
Từ \(\left\{ \begin{array}{l}OM + ON = 3a\\OM - ON = \frac{5}{3}a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM = \frac{7}{3}a\\ON = \frac{2}{3}a\end{array} \right.\)
Ta có \(R=\sqrt{O{{N}^{2}}+N{{D}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \frac{2}{3}a \right)}^{2}}+{{\left( 3a \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{85}}{3}\).
Chọn C.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
