Phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với các trục tọa độ và đường

Câu hỏi số 235116:

Vận dụng cao

Phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với các trục tọa độ và đường thẳng dcó phương trình:\(3x-4y+1=0\) là:

A. \(\left( C \right):{{\left( x-\frac{1}{6} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{6} \right)}^{2}}=\frac{1}{36}\)

B. \(\left( C \right):{{\left( x+\frac{1}{4} \right)}^{2}}+{{\left( y+\frac{1}{4} \right)}^{2}}=\frac{1}{16}\)

C. \(\left( C \right):{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}\)

D. \(\left( C \right):{{\left( x+\frac{1}{12} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{12} \right)}^{2}}=\frac{1}{144}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235116

Phương pháp giải

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \(\text{Ox},Oy,d\Rightarrow R=d\left( I,\text{Ox} \right)=d\left( I,Oy \right)=d\left( I,d \right)\)

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm \(I({{x}_{0}};{{y}_{0}})\) đến \(\Delta :\,\,ax+by+c=0\) là \(d\left( I;\Delta \right)=\frac{\left| \text{a}{{\text{x}}_{0}}+b{{y}_{0}}+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}\)

Giải chi tiết

Giả sử đường tròn (C) có tâm \(I\left( a,b \right)\)

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \(\text{Ox},Oy,d\Rightarrow R=d\left( I,\text{Ox} \right)=d\left( I,Oy \right)=d(I,d)\)

\(\Rightarrow R=\left| b \right|=\left| a \right|=\frac{\left| 3a-4b+1 \right|}{5}\)

TH1: Nếu \(a=b\), ta có \(\left| a \right| = \frac{{\left| {3a - 4a + 1} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {1 - a} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = 1 - a\\5a = a - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{1}{6}\\a = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\)

TH2: Nếu \(a=-b\), ta có \(\left| a \right| = \frac{{\left| {3a + 4a + 1} \right|}}{5} \Leftrightarrow 5\left| a \right| = \left| {1 + 7a} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5a = 1 + 7a\\5a = - 1 - 7a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{2}\\a = \frac{{ - 1}}{{12}}\end{array} \right.\)

Vì (C) có bán kính nhỏ nhất nên chọn \(R=\left| a \right|=\frac{1}{12}\)

(C) tâm \(I\left( -\frac{1}{12};\frac{1}{12} \right),\,R=\frac{1}{12}\) \( \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x + \frac{1}{{12}}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{{12}}} \right)^2} = \frac{1}{{144}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.