Cho hình chóp đều SABCD có tất cả các cạnh bằng a, điểm M thuộc cạnh SC sao cho \(SM=2MC.\) Mặt

Câu hỏi số 235234:

Vận dụng

Cho hình chóp đều SABCD có tất cả các cạnh bằng a, điểm M thuộc cạnh SC sao cho \(SM=2MC.\) Mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD. Tính diện tích thiết diện của hình chóp SABCD cắt bởi (P).

A. \(\dfrac{\sqrt{3}{{a}^{2}}}{5}\)

B. \(\dfrac{4\sqrt{26}{{a}^{2}}}{15}\)

C. \(\dfrac{2\sqrt{26}{{a}^{2}}}{15}\)

D. \(\dfrac{{2\sqrt 3 {a^2}}}{5}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235234

Phương pháp giải

+) Hình chóp SABCD có tất các các cạnh bằng nhau nên tứ giác đáy là hình vuông và hình chiếu của S trên (ABCD) là tâm ) của hình vuông đáy.

+) Gọi K là giao điểm của AM và SO. Qua K kẻ đường thẳng song song với DB, cắt SB tại E và SD tại K. Khi đó thiết diện là tứ giác ANMF.

Giải chi tiết

Gọi K là giao điểm của AM và SO.

Qua K kẻ đường thẳng song song với DB, cắt SB tại E và SD tại K. Khi đó thiết diện là tứ giác ANMF.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác SOC ta có:

\(\frac{MS}{MC}.\frac{AC}{AO}.\frac{KO}{KS}=1\Leftrightarrow 2.2.\frac{KO}{KS}=1\Leftrightarrow \frac{KO}{KS}=\frac{1}{4}\)

EF // BD \(\Rightarrow \frac{EF}{BD}=\frac{SK}{SO}=\frac{4}{5}\Rightarrow EF=\frac{4}{5}BD=\frac{4a\sqrt{2}}{5}\)

Xét tam giác SAC có: \(S{{A}^{2}}+S{{A}^{2}}={{a}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{a}^{2}}=A{{C}^{2}}\Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại A \(\Rightarrow AM=\sqrt{S{{A}^{2}}-S{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{2a}{3} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{3}\)

Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta SAB=\Delta SAD\,\,\left( c.c.c \right)\Rightarrow AE=AF\Rightarrow \Delta AEF\) cân tại A, mà K là trung điểm của EF nên \(AK\bot EF\Rightarrow \) Tứ giác AEMF có \(AM\bot EF\Rightarrow {{S}_{AEMF}}=\frac{1}{2}AM.EF=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{13}}{3}.\frac{4a\sqrt{2}}{5}=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{26}}{15}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.