Cho x, y, z là các số thực không âm phân biệt. Chứng minh rằng

Câu hỏi số 2374:

Cho x, y, z là các số thực không âm phân biệt. Chứng minh rằng $\frac{x+y}{(x-y)^{2}}$ + $\frac{y+z}{(y-z)^{2}}$ + $\frac{z+x}{(z-x)^{2}}$ ≥ $\frac{9}{x+y+z}$

A. $\left\{\begin{matrix} z=0\\x=(2\pm \sqrt{3})y \end{matrix}\right.$

B. $\left\{\begin{matrix} z=0\\x=(2-\sqrt{3})y \end{matrix}\right.$

C. $\left\{\begin{matrix} z=0\\x=(2\pm \sqrt{3})y \end{matrix}\right.$

D. $\left\{\begin{matrix} z=0\\x=(2+\sqrt{3})y \end{matrix}\right.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2374

Giải chi tiết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

(x + y + z)( $\frac{x+y}{(x-y)^{2}}$ + $\frac{y+z}{(y-z)^{2}}$ + $\frac{z+x}{(z-x)^{2}}$ ) ≥ 9 (1)

Không mất tính tổng quát, giả sử x > y > z ≥ 0. Đặt

f(z) = (x + y + z)( $\frac{x+y}{(x-y)^{2}}$ + $\frac{y+z}{(y-z)^{2}}$ + $\frac{z+x}{(z-x)^{2}}$ )

Khi đó ta có

f(z) ≥ f(0) = (x + y)( $\frac{x+y}{(x-y)^{2}}$ + $\frac{1}{y}$ + $\frac{1}{x}$ )

= (x + y)² ( $\frac{1}{(x-y)^{2}}$ + $\frac{1}{xy}$ )

= (x + y)² ( $\frac{1}{(x+y)^{2}-4xy}$ + $\frac{1}{xy}$ ) (2)

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô si: với a, b, c > 0 thì

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ ≥ $\frac{9}{a+b+c}$ ,

ta có

$\frac{1}{(x+y)^{2}-4xy}$ + $\frac{1}{xy}$ = $\frac{1}{(x+y)^{2}-4xy}$ + $\frac{1}{2xy}$ + $\frac{1}{2xy}$ ≥ $\frac{9}{(x+y)^{2}}$

Suy ra (x + y)² ( $\frac{1}{(x+y)^{2}-4xy}$ + $\frac{1}{xy}$ ) ≥ 9 (3)

Từ (2) và (3) ta có (1) đúng. Dấu bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} z=0\\(x+y)^{2} -4xy=2xy \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} z=0\\x^{2}-4xy+y^{2}=0 \end{matrix}\right.$

⇔ $\left\{\begin{matrix} z=0\\x=(2\pm \sqrt{3})y \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.