Cho \(a,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({{\log }_{5}}\left( \frac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4\). Tìm

Câu hỏi số 237443:

Vận dụng

Cho \(a,b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({{\log }_{5}}\left( \frac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\).

A. \(\frac{1}{2}\).

B. \(\frac{5}{2}\).

C. \(\frac{3}{2}\).

D. \(1\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237443

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết để sử dụng được hàm đặc trưng. Xét tính chất của hàm đặc trưng từ đó tìm được mối liên hệ của \(a,b\).

Biến đổi biểu thức \(T\) rồi đánh giá \(T\) theo hằng đẳng thức.

Giải chi tiết

Ta có \({{\log }_{5}}\left( \frac{4a+2b+5}{a+b} \right)=a+3b-4\)\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)-{{\log }_{5}}\left( a+b \right)=a+3b-4\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( a+b \right)+5a+5b+1\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left( 4a+2b+5 \right)+\left( 4a+2b+5 \right)={{\log }_{5}}\left( 5a+5b \right)+\left( 5a+5b \right)\).

Xét hàm \(f\left( x \right)={{\log }_{5}}x+x;x>0\) có \({f}'\left( x \right)=\frac{1}{x\ln 5}+1>0;\forall x>0\) suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên tập xác định.

Khi đó \(f\left( 4a+2b+5 \right)=f\left( 5a+5b \right)\Leftrightarrow 4a+2b+5=5a+5b\Leftrightarrow a=-3b+5\).

Xét \(T={{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( -3b+5 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=10{{b}^{2}}-30b+25={{\left( \sqrt{10}b-\frac{15}{\sqrt{10}} \right)}^{2}}+\frac{5}{2}\ge \frac{5}{2}\)

Vậy \(\min T = \frac{5}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{3}{2}\\a = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.