Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\) có hai nghiệm phân biệt

Câu hỏi số 237729:

Vận dụng

Tìm m để phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1}};\,{{x}_{2}}\)sao cho

\(\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(\frac{1}{3}\).

B. \(\frac{-1}{3}\).

C. \(-\frac{1}{5}\).

D. \(-1\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237729

Phương pháp giải

+) Tìm điều kiện để phương trình \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) có hai nghiệm phân biệt\({{x}_{1}};{{x}_{2}}\) là \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\end{array} \right.\).

+) Sử dụng hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\) để biến đổi biểu thức đã cho và đánh giá.

Giải chi tiết

PT \({{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\,\,\,\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\) \(\Leftrightarrow \Delta ={{\left( 2m+1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)>0\)

\(\Leftrightarrow 4m+5>0\Leftrightarrow m>-\frac{5}{4}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) .

Theo Vi - et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 6{x_1}{x_2} = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 6\left( {{m^2} - 1} \right) = 10{m^2} + 4m - 5\\ = 10\left( {{m^2} + \frac{2}{5}m + \frac{1}{{25}}} \right) - \frac{{27}}{5} = 10{\left( {m + \frac{1}{5}} \right)^2} - \frac{{27}}{5}\\ \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} \ge - \frac{{27}}{5}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m=-\frac{1}{5}\)( thỏa mãn (*) ) .

Vậy \(\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)+8{{x}_{1}}{{x}_{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m=-\frac{1}{5}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.