Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính

Câu hỏi số 238819:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính độ dài của SA để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60⁰.

\(\frac{a}{2}\)

\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

D. \(a\sqrt{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238819

Phương pháp giải

+) Kẻ \(BH\bot SC\), chứng minh \(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( BH;DH \right)}\)

+) Chia 2 trường hợp: \(\left[ \begin{align} \widehat{BHD}={{60}^{0}} \\ \widehat{BHD}={{120}^{0}} \\ \end{align} \right.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\left\{ \begin{align} BD\bot SA \\ BD\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot SC\)

Trong (SBC) kẻ \(BH\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( BDH \right)\Rightarrow DH\bot SC\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\\left( {SBC} \right) \supset BH \bot SC\\\left( {SCD} \right) \supset DH \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BH;DH} \right)} = {60^0}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0}\\\widehat {BHD} = {120^0}\end{array} \right.\end{array}\)

Có: \(\left\{ \begin{align} BC\bot AB \\ BC\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot SB\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B, tương tự ta chứng minh được tam giác SCD vuông tại D.

Dễ thấy \(\Delta SAB=\Delta SAD\left( c.g.c \right)\Rightarrow SB=SD\Rightarrow \Delta SBC=\Delta SDC\left( c.c.c \right)\)

\(\Rightarrow BH=DH\Rightarrow \Delta BDH\) cân tại H.

Đặt SA = x ta có: \(SB=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow B{{H}^{2}}=\frac{S{{B}^{2}}.B{{C}^{2}}}{S{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=D{{H}^{2}}\), ABCD là hình vuông cạnh a \(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\Rightarrow BO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

TH1 : \(\widehat{BHD}={{60}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHO}={{30}^{0}}\), xét tam giác vuông BHO có

\(\begin{align} \frac{BO}{BH}=\sin {{30}^{0}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{B{{O}^{2}}}{B{{H}^{2}}}=\frac{1}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=-3{{a}^{2}}\,\,\left( vo\,ly \right) \\ \end{align}\)

TH2 : \(\widehat{BHD}={{120}^{0}}\Rightarrow \widehat{BHO}={{60}^{0}}\), xét tam giác vuông BHO có

\(\begin{align} \frac{BO}{BH}=\sin {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow \frac{B{{O}^{2}}}{B{{H}^{2}}}=\frac{3}{4} \\ \Leftrightarrow \frac{\frac{{{a}^{2}}}{2}}{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right){{a}^{2}}}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \frac{\left( {{x}^{2}}+{{a}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}=2{{x}^{2}}+4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a \\ \end{align}\)

Chọn A.

Chú ý khi giải

Không kết luận \(\widehat{\left( \left( SBC \right);\left( SCD \right) \right)}=\widehat{\left( BH;DH \right)}=\widehat{BHD}={{60}^{0}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.