Cho x, y là số thực dương thỏa mãn \(\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\). Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 238833:

Vận dụng cao

Cho x, y là số thực dương thỏa mãn \(\ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P=x+y\)

\(P=2\sqrt{2}+3\)

\(P=\sqrt{17}+\sqrt{13}\)

\(2+3\sqrt{2}\)

D. \(P=6\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238833

Phương pháp giải

+) Biến đổi bất đẳng thức đã cho, cô lập x và đưa biểu thức \(P\ge f\left( x \right)\) trên một khoảng xác định.

+) Tìm GTNN của hàm số f(x) trên khoảng xác định đó.

Giải chi tiết

\(\begin{align} \ln x+\ln y\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow \ln \left( xy \right)\ge \ln \left( {{x}^{2}}+y \right)\Leftrightarrow xy\ge {{x}^{2}}+y \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+y\left( 1-x \right)\le 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\le y\left( x-1 \right) \\ \end{align}\)

Do \(y\left( x-1 \right)\ge {{x}^{2}}\ge 0,\,\,y>0\,\Rightarrow x-1>0\Rightarrow y\ge \frac{{{x}^{2}}}{x-1}\)

\(\Rightarrow P=x+y\ge x+\frac{{{x}^{2}}}{x-1}\,\,\left( x>1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=x+\frac{{{x}^{2}}}{x-1}\) trên \(\left( 1;+\infty \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right)=1+\frac{2x\left( x-1 \right)-{{x}^{2}}}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x+1+{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{2{{x}^{2}}-4x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow x=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\in \left( 1;+\infty \right)\)

Có \(f\left( \frac{2+\sqrt{2}}{2} \right)=3+2\sqrt{2}\Rightarrow \underset{\left( 1;+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=3+2\sqrt{2}\Rightarrow P\ge 3+2\sqrt{2}\)

Chọn A.

Chú ý khi giải

Ở bài toán này, học sinh cần đánh giá được x > 1 để suy ra \(y\ge \frac{{{x}^{2}}}{x-1}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.