Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O,\,\,AB=a,\,\,BC=a\sqrt{3}.\) Tam giác

Câu hỏi số 239253:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật tâm \(O,\,\,AB=a,\,\,BC=a\sqrt{3}.\) Tam giác \(SAO\) cân tại \(S,\) mặt phẳng \(\left( SAD \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right),\)góc giữa đường thẳng \(SD\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC.\)

\(\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

\(\frac{3a}{2}.\)

\(\frac{a}{2}.\)

D. \(\frac{3a}{4}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239253

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(mp\,\,\left( ABCD \right).\)

Ta có \(SA=SO\Rightarrow \,\,\Delta \,SHA=\Delta \,SHO\,\,\,\,\,\left( c\,\,-\,\,g\,\,-\,\,c \right)\Rightarrow \,\,HA=HO.\)

\(\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{CAD}={{30}^{0}},OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+3{{a}^{2}}}=a\)

\(\Rightarrow \) \(\Delta \,HAO\) cân tại \(H,\) có

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HAO} = {30^0}\\OA = a\end{array} \right. \Rightarrow HA = \frac{{\frac{1}{2}AO}}{{\cos 30}} = \frac{a}{2}:\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow HD = \frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}.\)

Xác định góc

\(\widehat{\left( SD;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{SDH}={{60}^{0}}\Rightarrow SH=HD.\tan 60=\frac{2a}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}=2a.\)

Qua \(B\) kẻ đường thẳng \(d\)//\(AC,\) \(K\) là hình chiếu của \(H\) trên \(d.\)

\(\Rightarrow \)\(AC\)//\(\left( SBK \right)\)\(\Rightarrow \)\(d\left( SB;AC \right)=d\left( AC;\left( SBK \right) \right)=d\left( A;\left( SBK \right) \right).\)

Ta có : \(DB=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}}=2a\Rightarrow BO=a=BA\), có \(HA=HO\)

\(\Rightarrow HB\) là trung trực của AO \(\Rightarrow HB\bot AO\Rightarrow HB\bot D\)

Kẻ \(AF\bot d\,\,\left( F\in d \right)\) ta có : \(AF=BE\)

\(\Rightarrow \frac{d\left( H;d \right)}{d\left( A;d \right)}=\frac{HB}{AF}=\frac{HB}{BE}=\frac{4}{3}\Rightarrow d\left( A;\left( SBK \right) \right)=\frac{3}{4}d\left( H ;\left( SBK \right) \right)\)

Vậy \(d\left( A;\left( SBK \right) \right)=\frac{3}{4}.\frac{SH.HK}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{K}^{2}}}}=\frac{3a}{4}\Rightarrow d\left( SB;AC \right)=\frac{3a}{4}.\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.