Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 23992:

$\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+3}}\geq 3$

A. click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:23992

Giải chi tiết

Ta có: $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}=\frac{1-c}{\sqrt{ab+1-a-b}}=\frac{1-c}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}$

Tương tự ta có:

$\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}=\frac{1-a}{\sqrt{bc+1-b-c}}=\frac{1-a}{\sqrt{(1-b)(1-c)}}$

$\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}=\frac{1-b}{\sqrt{ac+1-a-c}}=\frac{1-b}{\sqrt{(1-c)(1-a)}}$

Do đó: VT = $\frac{1-c}{\sqrt{(1-a)(1-b)}}+\frac{1-b}{\sqrt{(1-c)(1-a)}}+\frac{1-a}{\sqrt{(1-b)(1-c)}}$

Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1)

=> 1-a,1-b,1-c dương

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được:

VT ≥ $3\sqrt[3]{\frac{(1-a)(1-b)(1-c)}{(1-a)(1-b)(1-c)}}$ = 3

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c = $\frac{1}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.