Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = {{x + 1} \over {x - 2}}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\). Khi đường thẳng cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song với nhau thì m sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?

Câu 240891: Cho đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = {{x + 1} \over {x - 2}}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\). Khi đường thẳng cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song với nhau thì m sẽ thuộc khoảng nào sau đây ?

A. \(\left( { - 4; - 2} \right)\)

B. \(\left( { - 2;0} \right)\)

C. \(\left( {0;2} \right)\)

D. \(\left( {2;4} \right)\)

Câu hỏi : 240891

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

Sử dụng định lí Vi-et suy ra tổng các nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại A và B song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)

Đáp án : B
(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có : \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

\(\eqalign{ & {{x + 1} \over {x - 2}} = x + m\,\,\left( {x \ne 2} \right) \cr & \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} + mx - 2x - 2m \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0\,\,\left( * \right) \cr} \)

Đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = {{x + 1} \over {x - 2}}\) và đường thẳng \(d:\,\,y = x + m\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta = {\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {2m + 1} \right) > 0\\
4 + 2m - 6 - 2m - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 13 > 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\\
- 3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in R\)

Giả sử phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt \({x_A};{x_B}\,\,\left( {{x_A} \ne {x_B}} \right)\), theo định lí Vi-et ta có : \({x_A} + {x_B} = 3 - m\).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại A và B song song với nhau \( \Leftrightarrow y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right)\)

Ta có : \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(\eqalign{ & y'\left( {{x_A}} \right) = y'\left( {{x_B}} \right) \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_A} - 2} \right)}^2}}} = {{ - 3} \over {{{\left( {{x_B} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {x_A} - 2 = 2 - {x_B} \Leftrightarrow {x_A} + {x_B} = 4 \cr & \Leftrightarrow 3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - 1 \in \left( { - 2;0} \right) \cr} \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.