Với \(a = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{4{{\sin }^3}x} \over {1 + \cos x}}dx} ;b = \int\limits_{{\pi \over

Câu hỏi số 241061:

Thông hiểu

Với \(a = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{4{{\sin }^3}x} \over {1 + \cos x}}dx} ;b = \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{\pi \over 3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)dx} \). Tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b\sqrt 3 \) có dạng \({{m - n\sqrt 3 } \over 2}\), khi đó \(m - n = ?\)

A. \(2 + \sqrt 3 \)

B. 5

C. \(4 - 2\sqrt 3 \)

D. 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241061

Phương pháp giải

Tính a: Tách \({\sin ^3}x = \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x\) sau đó đặt \(t = \cos x\)

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính b

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & a = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{4{{\sin }^3}x} \over {1 + \cos x}}dx} = 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin x} \over {1 + \cos x}}dx} = 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {1 - \cos x} \right)\sin xdx} = - 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {1 - \cos x} \right)d\left( {\cos x} \right)} \cr & \,\,\, = - \left. {4\left( {\cos x - {{{{\cos }^2}x} \over 2}} \right)} \right|_0^{{\pi \over 2}} = 2 \cr & b = \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{\pi \over 3}} {\left( {\sin 2x + \cos x} \right)dx} = \left. {\left( { - {{\cos 2x} \over 2} + \sin x} \right)} \right|_{{\pi \over 2}}^{{\pi \over 3}} = {{1 + 2\sqrt 3 } \over 4} - {3 \over 2} = {{2\sqrt 3 - 5} \over 4} \cr & \Rightarrow P = a + 2b\sqrt 3 = {{10 - 5\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow \left\{ \matrix{ m = 10 \hfill \cr n = 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow m - n = 5 \cr} \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.