Cho tích phân \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos 2x} \over {1 + \cos x}}dx} = a{\pi ^2} + b\pi + c\) trong

Câu hỏi số 241063:

Vận dụng

Cho tích phân \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos 2x} \over {1 + \cos x}}dx} = a{\pi ^2} + b\pi + c\) trong đó \(a,b,c \in Z\). Giá trị của \(A = ab + bc + ca\) là:

A. \(A=0\)

B. \(A=3\)

C. \(A=10\)

D. \(A=-3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241063

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi: \(\cos 2x = 2{\cos ^2}x - 1\).

Chia tử cho mẫu, sử dụng bảng công thức nguyên hàm cơ bản và công thức nhân đôi: \(1 + \cos x = 2{\cos ^2}{x \over 2}\)

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos 2x} \over {1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{2{{\cos }^2}x - 1} \over {1 + \cos x}}dx} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {\left( {2\cos x - 2} \right) + {1 \over {1 + \cos x}}} \right)dx} = \left. {\left( {2\sin x - 2x} \right)} \right|_0^{{\pi \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {1 + \cos x}}dx} \cr & = 2 - \pi + \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {1 + \cos x}}dx} \cr & = 2 - \pi + \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}}dx} \cr & = 2 - \pi + {1 \over 2}.2.\left. {\tan {x \over 2}} \right|_0^{{\pi \over 2}} \cr & = 2 - \pi + 1 = 3 - \pi \cr & \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 0 \hfill \cr b = - 1 \hfill \cr c = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A = ab + bc + ca = - 3 \cr} \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.