Cho tích phân \(\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{\tan \left( {x - {\pi \over 4}} \right)dx} \over {\cos 2x}}} \).

Câu hỏi số 241066:

Vận dụng

Cho tích phân \(\int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{\tan \left( {x - {\pi \over 4}} \right)dx} \over {\cos 2x}}} \). Giá trị của biểu thức \(T = 2I + \sqrt 3 \) là:

A. \(T=2\)

B. \(T=1\)

C. \(T = 1 - \sqrt 3 \)

D. \(T = 2 + \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241066

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\tan \left( {a - b} \right) = {{\tan a - \tan b} \over {1 + \tan a\tan b}},\,\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = \left( {\cos a - \sin a} \right)\left( {\cos a + \sin a} \right)\)

Rút gọn và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & \tan \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {{\tan x - 1} \over {1 + \tan x}} = {{{{\sin x} \over {\cos x}} - 1} \over {1 + {{\sin x} \over {\cos x}}}} = {{\sin x - \cos x} \over {\sin x + \cos x}} \cr & \cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = - \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) \cr & \Rightarrow {{\tan \left( {x - {\pi \over 4}} \right)} \over {\cos 2x}} = {{ - 1} \over {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}}} = {{ - 1} \over {2{{\sin }^2}\left( {x + {\pi \over 4}} \right)}} \cr & \Rightarrow I = - \int\limits_0^{{\pi \over 6}} {{{dx} \over {2{{\sin }^2}\left( {x + {\pi \over 4}} \right)}}} = \left. {{1 \over 2}\cot \left( {x + {\pi \over 4}} \right)} \right|_0^{{\pi \over 6}} = {1 \over 2}\left( {2 - \sqrt 3 - 1} \right) = {1 \over 2}\left( {1 - \sqrt 3 } \right) \cr & \Rightarrow T = 2I + \sqrt 3 = 1 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 1. \cr} \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.