Tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos 3x} \over {\sin x + 1}}dx} = a + b\ln 2\) với a, b là

Câu hỏi số 241070:

Vận dụng cao

Tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos 3x} \over {\sin x + 1}}dx} = a + b\ln 2\) với a, b là các số hữu tỉ. Tính \(P = {a^2} + 2{b^2}\).

A. \(P=6\)

B. \(P=9\)

C. \(P=22\)

D. \(P=11\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241070

Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân ba: \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x\)

Tách thành hai tích phân, đặt \(t = \sin x\)

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & I = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos 3x} \over {\sin x + 1}}dx} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \over {\sin x + 1}}dx} = 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{{{\cos }^3}x} \over {\sin x + 1}}dx} - 3\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos x} \over {\sin x + 1}}dx} \cr & = 4\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\cos x} \over {\sin x + 1}}dx} - 3\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\cos x} \over {\sin x + 1}}dx} = 4{I_1} - 3{I_2} \cr} \)

Đặt \(t = \sin x \Leftrightarrow dt = \cos xdx\), đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 2} \Rightarrow t = 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^1 {{{1 - {t^2}} \over {t + 1}}dt} = \int\limits_0^1 {\left( { - t + 1} \right)dt} = \left. {\left( { - {{{t^2}} \over 2} + t} \right)} \right|_0^1 = {1 \over 2} \cr & {I_2} = \int\limits_0^1 {{{dt} \over {t + 1}}} = \left. {\ln \left| {t + 1} \right|} \right|_0^1 = \ln 2 \cr & \Rightarrow I = 2 - 3\ln 2 \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = - 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow P = {a^2} + 2{b^2} = 22 \cr} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.