Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và D là hình chiếu vuông

Câu hỏi số 241478:

Vận dụng

Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và D là hình chiếu vuông góc của điểm B trên AO sao cho D nằm giữa A và O. Gọi M là trung điểm của BC, N là giao điểm của BD và AC, F là giao điểm của MD và AC, E là giao điểm thứ hai của BD với đường tròn (O), H là giao điểm của BF và AD. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BDOM nội tiếp và \(\widehat{MOD}+\widehat{NAE}={{180}^{0}}\)

b) DF song song với CE, từ đó suy ra \(NE.NF=NC.ND\)

c) CA là tia phân giác của góc\(\widehat{BCE}\)

d) HN vuông góc với AB

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241478

Phương pháp giải

a) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Dựa vào tứ giác nội tiếp đã chứng minh ở trên để suy ra các cặp góc bằng nhau.

+) Chứng minh cặp tam giác đồng dạng tương ứng để duy ra tỉ lệ cần chứng minh.

c) Dựa vào tính chất hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau để chứng minh các góc bằng nhau và suy ra tia phân giác.

d) Chứng minh các tứ giác nội tiếp tương ứng để chứng minh yếu tố vuông góc.

Giải chi tiết

a) Vì M là trung điểm của dây cung BC nên OM ⊥ BC

Xét tứ giác BDOM có \(\widehat{BDO}+\widehat{BMO}={{180}^{0}}\) nên tứ giác BDOM là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

Suy ra \(\widehat{MOD}+\widehat{MBD}={{180}^{0}}\)

Mà \(\widehat{MBD}=\widehat{NAE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC) nên \(\widehat{MOD}+\widehat{NAE}={{180}^{0}}\)

b) Gọi I là giao điểm của BO với đường tròn (O)

Vì \(\widehat{BEI}={{90}^{0}}\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(BE\bot EI\)

Mà \(BE\bot OD\) (gt)

\(\Rightarrow OD//EI\)

Vì tứ giác OMBD nội tiếp (cmt) \(\Rightarrow \widehat{ODM}=\widehat{OBM}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung OM)

\(\widehat{OBM}=\widehat{IEC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung IC)

\(\Rightarrow \widehat{ODM}=\widehat{IEC}\)

\(\Rightarrow {{90}^{0}}-\widehat{BDM}={{90}^{0}}-\widehat{BEC}\Rightarrow \widehat{BDM}=\widehat{BEC}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng dạng nên DF // CE.

Xét tam giác NDF và NEC có: \(\widehat{FND}=\widehat{CNE}\)(đđ), \(\widehat{NFD}=\widehat{NCE}\)(so le trong)

\(\Rightarrow \Delta NDF\sim \Delta NEC\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{ND}{NF}=\frac{NE}{NC}\Rightarrow NC.ND=NE.NF\)

c) Vì OD ⊥ BE, OD giao đường trong tâm (O) tại A nên A là điểm chính giữa cung BE

Khi đó \(\widehat{ACB}=\widehat{ACE}\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Nên CA là tia phân giác của góc\(\widehat{BCE}\)

d) Vì DE // EC nên \(\widehat{DFN}=\widehat{ACE}\) (so le trong)

Mà \(\widehat{ACE}=\widehat{ABE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung AE)

\(\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{DFN}\)

Mà \(\widehat{DFN}+\widehat{DFA}={{180}^{0}}\) nên \(\widehat{ADE}+\widehat{DFA}={{180}^{0}}\)

⇒ Tứ giác AFDB nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\))

\(\Rightarrow \widehat{BFA}=\widehat{BDA}={{90}^{0}}\)

Xét tam giác ABN có AD ⊥ BN , BF ⊥ AN, \(AD\cap BF=H\) nên H là trực tâm tam giác ABN

Do đó NH ⊥ AB

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link