Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) (A là tiếp điểm).

Câu hỏi số 241484:

Vận dụng cao

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) (A là tiếp điểm). Qua C thuộc tia Ax, vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa C và E; D và E nằm về hai phía của đường thẳng AB). Từ O vẽ OH vuông góc với đường thẳng DE tại H.

a) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp.

b) Chứng minh: \(AC.AE=AD.CE\)

c) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh: AM // BN

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241484

Phương pháp giải

+) Sử dụng các dấu hiệu nhận biết của tứ giác nội tiếp để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Từ tứ giác nội tiếp ta chứng minh các góc cùng nhìn 1 đoạn thẳng thì bằng nhau. Qua đó ta chứng minh các tam giác đồng dạng và suy ra tỉ lệ mà đề bài cần chứng minh.

+) Dựa vào định lý Ta-let và các yếu tố bài cho để chứng minh các cạnh song song.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác AOHC có\(\widehat{CAO}=\widehat{CHO}={{90}^{0}}\) nên tứ giác AHOC nội tiếp đường tròn đường kính OC.

b) Xét tam giác ACD và ECA có \(\widehat{ACE}\) chung, \(\widehat{CAD}=\widehat{AEC}\) (cùng chắn cung AD)

\(\Rightarrow \Delta ACD\sim \Delta ECA\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AC}{AD}=\frac{CE}{AE}\Rightarrow AC.AE=AD.CE\)

c) Qua E kẻ đường thẳng song song với OC cắt BA, BD lần lượt tại I và F. Ta có \(\widehat{IEH}=\widehat{HCO}\) (hai góc so le trong) mà tứ giác AOHC nội tiếp nên ta có \(\widehat{HCO}=\widehat{HAO}\Rightarrow \widehat{IEH}=\widehat{HAO}\Rightarrow \) HAEI nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{IHE}\) mà\(\widehat{IAE}=\widehat{BDE}\) , suy ra \(\widehat{IHE}=\widehat{BDE}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên suy ra IH // DF

Xét tam giác EFD có IH // DF và H là trung điểm của DE nên IH là đường trung bình của tam giác EDF, suy ra I là trung điểm của EF.

Áp dụng định lý Talet cho các tam giác BOM và BON ta có \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}\frac{IF}{OM}=\frac{BI}{BO} & {} \\\frac{IE}{ON}=\frac{BI}{BO} & {} \\\end{array} \right.\)

Suy ra \(\frac{IE}{ON}=\frac{IF}{OM}\) mà IE=IF nên OM=ON

Xét tứ giác AMBN có OA=OM và OM=ON nên AMBN là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

Vậy AM // BN (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link