Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\) của phương trình \({{\sin

Câu hỏi số 242201:

Thông hiểu

Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \(\left( 0;2\pi \right)\) của phương trình \({{\sin }^{4}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{4}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}.\)

A. \(\frac{9\pi }{8}.\)

B. \(\frac{12\pi }{3}.\)

C. \(\frac{9\pi }{4}.\)

D. \(2\pi .\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242201

Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc, đưa về phương trình lượng giác cơ bản, dựa vào khoảng nghiệm xác định nghiệm cụ thể và tính tổng các nghiệm.

Giải chi tiết

Ta có \({{\sin }^{4}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{4}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}\Leftrightarrow {{\left( {{\sin }^{2}}\frac{x}{2}+{{\cos }^{2}}\frac{x}{2} \right)}^{2}}-2{{\sin }^{2}}\frac{x}{2}.{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}=\frac{5}{8}\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}{{\sin }^{2}}x=\frac{5}{8}\Leftrightarrow 1-\frac{1}{4}\left( 1-\cos 2x \right)=\frac{5}{8} \\ & \Leftrightarrow \cos 2x=-\,\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \,\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z} \\ & \Leftrightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}. \\ \end{align}\)

Mà \(x\in \left( 0;2\pi \right)\) nên \(0<\pm \,\frac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \)\(\Rightarrow x=\left\{ \frac{\pi }{3};\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3};\frac{5\pi }{3} \right\}.\)

Vậy tổng các nghiệm cần tính là \(\sum{x}=\frac{\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{5\pi }{3}=\frac{12\pi }{3}=4\pi .\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.