Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt la nằm trên hai cạnh B'C' và DD' sao cho C'M = DN = x.Mặt phẳng (MAD') cắt BB' tại P. Chứng minh rằng CM ⊥ BN và tìm x theo a để thể tích khối lập phương đã cho gấp 3 lần thể tích khối đa diện MPB'.D' AA'

Câu hỏi số 2449:

A. x = $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ a

B. x = $-\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ a

C. x = $-\frac{3-\sqrt{5}}{4}$ a

D. x = $\frac{3-\sqrt{5}}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:2449

Giải chi tiết

Ta có $\overrightarrow{CM}.\overrightarrow{BN}$ = ( $\overrightarrow{CC'}$ + $\overrightarrow{C'M}$ ) ( $\overrightarrow{BA}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{DN}$ )

= $\overrightarrow{CC'}$ . $\overrightarrow{DN}$ + $\overrightarrow{C'M}$ . $\overrightarrow{AD}$ = a.x - x.a = 0

(Lưu ý rằng các véctơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng của chúng bằng 0)

Từ đó suy ra CM ⊥ BN

Ta có các đường thẳng AP,D'M,A'B' đồng quy tại S (hình vẽ)

Ta có : V_S.AA’D’= $\frac{1}{3}$ .SA'.V_AA’D’= $\frac{1}{3}$ . $\frac{a^{2}}{x}$ . $\frac{1}{2}$ .a² = $\frac{a^{4}}{6x}$

Ta có : $\frac{V_{SPB'M}}{V_{SAA'D'}}$ = $\frac{SP}{SA}.\frac{SB'}{SA}.\frac{SM}{SD'}$ = ( $\frac{a-x}{a}$ )³ = ( $\frac{1-x}{a}$ )³

Suy ra: V_{MPB’.D’AA’} = $\frac{a^{4}}{6x}$ (1 - (1 - $\frac{x}{a}$ )³ ) = $\frac{a^{3}}{6}$ (1 + (1 - $\frac{x}{a}$ ) + (1 + $\frac{x}{a}$ )² )

Theo giả thiết V_{MPB’.D’AA’} = $\frac{1}{3}$ .V_{ABCD.A’B’C’D’} = $\frac{1}{3}$ a³. Suy ra

(1 + $\frac{x}{a}$ )² + (1 - $\frac{x}{a}$ ) - 1 = 0 ⇒ 1 - $\frac{x}{a}$ = $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ > 0 ⇒ x = $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ a

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.