Cho \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\) thỏa mãn \(\sin \alpha +\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha

Câu hỏi số 245333:

Thông hiểu

Cho \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}\) thỏa mãn \(\sin \alpha +\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sqrt{2}.\) Tính \(\tan \left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)\) ?

A. \(\frac{-\,9+4\sqrt{2}}{7}.\)

B. \(\frac{9-4\sqrt{2}}{7}.\)

C. \(-\frac{9+4\sqrt{2}}{7}.\)

D. \(\frac{9+4\sqrt{2}}{7}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:245333

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản :

\(\sin \left( A+B \right)=\sin A.\cos B+\cos A.\sin B;\ \ \tan \left( A+B \right)=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A.\tan B}.\)

Giải chi tiết

Ta có : \(\sin \alpha +\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sqrt{2}\Leftrightarrow \sin \alpha +\sqrt{2}\cos \alpha =\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow \sin \alpha =\sqrt{2}-\sqrt{2}\cos \alpha .\)

Mà \({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\)

Suy ra \({{\left( \sqrt{2}-\sqrt{2}\cos \alpha \right)}^{2}}+{{\cos }^{2}}\alpha =1\Leftrightarrow 2\left( {{\cos }^{2}}\alpha -2\cos \alpha +1 \right)+{{\cos }^{2}}\alpha =1\)

\(\Leftrightarrow 3{{\cos }^{2}}\alpha -4\cos \alpha +1=0\Leftrightarrow \left( \cos \alpha -1 \right)\left( 3\cos \alpha -1 \right)=0\Leftrightarrow \cos \alpha =\frac{1}{3}\) vì \(0<\alpha <\frac{\pi }{2}.\)

Khi đó \(\sin \alpha =\sqrt{2}\left( 1-\cos \alpha \right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)\(\xrightarrow{{}}\,\,\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{2}}{3}:\frac{1}{3}=2\sqrt{2}.\)

Vậy \(\tan \left( \alpha +\frac{\pi }{4} \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}+\tan \alpha }{1-\tan \frac{\pi }{4}.\tan \alpha }=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=\frac{1+2\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=-\frac{9+4\sqrt{2}}{7}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.