Cho phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+2m{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x}}.\) Tìm tất
Cho phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+2m{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x}}.\) Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt ẩn phụ, cô lập m đưa về khảo sát hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình.
Phương trình \({{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{x}}+2m{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{x}}={{2}^{x}}\Leftrightarrow {{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}+2m.{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}=1\) \(\left( * \right).\)
Đặt \(t={{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{x}}>0\) mà \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}.\frac{\sqrt{5}-1}{2}=1\)\(\Rightarrow \)\({{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{x}}=\frac{1}{t}.\)
Khi đó \(\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{1}{t}+2mt=1\Leftrightarrow 2m=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}.\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{t-1}{{{t}^{2}}}\) trên khoảng \(\left( 0;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{2-t}{{{t}^{3}}};\,\,{f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=2.\)
Ta có bảng biến thiên :
Tính \(f\left( 2 \right)=\frac{1}{4};\,\,\underset{t\,\to \,{{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=-\,\infty \) và \(\underset{t\,\to \,+\,\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=0\)
Do đó, để phương trình \(2m=f\left( t \right)\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \,\,m\le 0;\,\,m=\frac{1}{8}.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
