Tìm hệ số chứa \({{x}^{10}}\) trong khai triển \(f\left( x \right)={{\left( \frac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1

Câu hỏi số 245343:

Vận dụng

Tìm hệ số chứa \({{x}^{10}}\) trong khai triển \(f\left( x \right)={{\left( \frac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{3n}}\) với \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(A_{n}^{3}+C_{n}^{n\,-\,2}=14n.\)

A. \({{2}^{9}}C_{19}^{10}.\)

B. \({{2}^{9}}C_{19}^{10}{{x}^{10}}.\)

C. \({{2}^{5}}C_{19}^{10}{{x}^{10}}.\)

D. \({{2}^{5}}C_{19}^{10}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:245343

Phương pháp giải

Giải phương trình tổ hợp để tìm n, áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng cần tìm

Giải chi tiết

Ta có \(A_{n}^{3}+C_{n}^{n\,-\,2}=14n\Leftrightarrow \frac{n!}{\left( n-3 \right)!}+\frac{n!}{\left( n-2 \right)!.2!}=14n\Leftrightarrow n\left( n-1 \right)\left( n-2 \right)+\frac{n\left( n-1 \right)}{2}=14n\)

\(\Leftrightarrow {{n}^{2}}-3n+2+\frac{n-1}{2}=14\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}-5n-25=0\Leftrightarrow n=5\) (vì điều kiện \(n\ge 3\))

Khi đó \(f\left( x \right)={{\left( \frac{1}{4}{{x}^{2}}+x+1 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{15}}=\frac{1}{16}{{\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{15}}=\frac{1}{16}{{\left( x+2 \right)}^{19}}.\)

Xét khai triển \({{\left( x+2 \right)}^{19}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{19}{C_{19}^{k}}.{{x}^{19\,-\,k}}{{.2}^{k}}=\sum\limits_{k\,=\,\,0}^{19}{C_{19}^{k}}{{.2}^{k}}.{{x}^{19\,-\,k}}.\)

Hệ số của \({{x}^{10}}\) ứng với \(19-k=10\Leftrightarrow k=9.\) Vậy hệ số cần tìm là \(\frac{1}{16}.C_{19}^{9}{{.2}^{9}}={{2}^{5}}.C_{19}^{9}.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.